3. Una compañía de autobuses urbanos está interesada en establecer una ruta de autobús, desde 
el distrito de Mejicanos hasta Santa Tecla. Se seleccionó una muestra aleatoria de 50 
ciudadanos de ambos lugares y 18 manifestaron que utilizarán la nueva ruta.
a) ¿Cuál es la estimación para la proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la nueva 
ruta de autobuses?
b) Establezca una estimación por intervalo con nivel de significación del 10% para la 
proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la ruta proyectada.
c) Considere la proporción de a) como el resultado de una prueba piloto. Ahora considere 
un nuevo tamaño de muestra si se considera que la diferencia entre la proporción de la 
muestra y la de la población, no difiera en más de 8%. Utilice un nivel de significación 
de 0.034.
resuélveme esto paso a paso

Vamos a resolver este problema paso a paso para cada inciso.

### a) Estimación de la proporción real de viajeros

Para estimar la proporción real de viajeros que estarían dispuestos a utilizar la nueva ruta de autobuses, utilizamos la proporción muestral. 

\[
\hat{p} = \frac{x}{n}
\]

donde:
- \(\hat{p}\) es la proporción muestral.
- \(x = 18\) es el número de personas que manifestaron que utilizarían la nueva ruta.
- \(n = 50\) es el tamaño de la muestra.

Sustituyendo los valores:

\[
\hat{p} = \frac{18}{50} = 0.36
\]

**Respuesta a)**
La estimación para la proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la nueva ruta de autobuses es \(\hat{p} = 0.36\) o 36%.

### b) Estimación por intervalo con un nivel de significación del 10%

Queremos construir un intervalo de confianza para la proporción real con un nivel de significación del 10%, lo que implica un nivel de confianza del 90%.

El intervalo de confianza para una proporción se calcula como:

\[
\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
\]

donde:
- \(\hat{p} = 0.36\) es la proporción muestral.
- \(n = 50\) es el tamaño de la muestra.
- \(Z_{\alpha/2}\) es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza del 90%. Para \(\alpha = 0.10\), \(\alpha/2 = 0.05\), y \(Z_{0.05} \approx 1.645\).

Ahora calculamos el error estándar (EE) de la proporción:

\[
EE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \cdot (1 - 0.36)}{50}}
\]

Calculemos este valor:

\[
EE \approx \sqrt{\frac{0.36 \cdot 0.64}{50}} \approx \sqrt{\frac{0.2304}{50}} \approx \sqrt{0.004608} \approx 0.0679
\]

Entonces, el intervalo de confianza es:

\[
0.36 \pm 1.645 \cdot 0.0679
\]

Calculamos los límites del intervalo:

\[
Límite\ Inferior = 0.36 - 1.645 \cdot 0.0679 \approx 0.36 - 0.1117 = 0.2483
\]
\[
Límite\ Superior = 0.36 + 1.645 \cdot 0.0679 \approx 0.36 + 0.1117 = 0.4717
\]

**Respuesta b)**
El intervalo de confianza al 90% para la proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la ruta proyectada es aproximadamente \((0.2483, 0.4717)\).

### c) Nuevo tamaño de muestra con una precisión del 8% y nivel de significación de 0.034

Queremos determinar un nuevo tamaño de muestra \(n\) tal que la diferencia entre la proporción de la muestra y la de la población no difiera en más del 8% con un nivel de significación de 0.034.

Para esto, utilizamos la fórmula del tamaño de muestra para una proporción:

\[
n = \left( \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} (1 - \hat{p})}{E^2} \right)
\]

donde:
- \(\hat{p} = 0.36\) es la proporción muestral.
- \(E = 0.08\) es el error máximo tolerable (8%).
- \(Z_{\alpha/2}\) es el valor crítico de la distribución normal estándar. Para \(\alpha = 0.034\), \(\alpha/2 = 0.017\), y \(Z_{0.017} \approx 2.13\).

Sustituyendo los valores:

\[
n = \left( \frac{2.13^2 \cdot 0.36 \cdot (1 - 0.36)}{0.08^2} \right)
\]

Calculemos este valor:

\[
n = \left( \frac{4.5369 \cdot 0.36 \cdot 0.64}{0.0064} \right)
\]

\[
n \approx \left( \frac{1.0434432}{0.0064} \right) \approx 163.038
\]

Como el tamaño de muestra debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba:

\[
n \approx 164
\]

**Respuesta c)**
El nuevo tamaño de muestra necesario es de 164 ciudadanos para que la diferencia entre la proporción muestral y la real no sea mayor al 8% con un nivel de significación de 0.034.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? ¿Tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan los valores críticos de la distribución normal?
2. ¿Qué diferencias existen entre los diferentes niveles de confianza (90%, 95%, 99%)?
3. ¿Cómo afecta el tamaño de muestra al intervalo de confianza?
4. ¿Por qué se redondea hacia arriba el tamaño de muestra calculado?
5. ¿Qué es un nivel de significación y cómo se interpreta en pruebas estadísticas?

**Tip:** Recuerda que la elección del nivel de significación afecta la precisión y confiabilidad de los intervalos de confianza.

Una compañía de autobuses urbanos está interesada en establecer una ruta de autobús, desde el distrito de Mejicanos hasta Santa Tecla. Se seleccionó una muestra aleatoria de 50 ciudadanos de ambos lugares y 18 manifestaron que utilizarán la nueva ruta.
a) ¿Cuál es la estimación para la proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la nueva ruta de autobuses?
b) Establezca una estimación por intervalo con nivel de significación del 10% para la proporción real de viajeros dispuestos a utilizar la ruta proyectada.
c) Considere la proporción de a) como el resultado de una prueba piloto. Ahora considere un nuevo tamaño de muestra si se considera que la diferencia entre la proporción de la muestra y la de la población, no difiera en más de 8%. Utilice un nivel de significación de 0.034.

Learn how to estimate the real proportion of travelers willing to use the new bus route between Mejicanos and Santa Tecla. Includes confidence interval calculations at 90% confidence level and determining the required sample size with 8% precision and a significance level of 0.034.

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