como se determinan los angulos  y los lados de un triángulo ABC. Ángulo A=30 grados, ángulo B=45 grados,
lado a=10 cm

Para determinar los ángulos y lados de un triángulo cuando se conoce un lado y dos ángulos, podemos utilizar la **Ley de los Senos**. Dado que ya conocemos los ángulos \(A\) y \(B\), podemos encontrar el ángulo \(C\) utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados. Luego, podemos aplicar la Ley de los Senos para encontrar los otros lados.

### Paso 1: Encontrar el ángulo C

Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados:

\[
C = 180^\circ - A - B
\]

Sustituyendo los valores dados:

\[
C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ
\]

### Paso 2: Aplicar la Ley de los Senos

La Ley de los Senos establece que:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Donde:
- \(a = 10\) cm (lado opuesto al ángulo \(A\))
- \(A = 30^\circ\)
- \(B = 45^\circ\)
- \(C = 105^\circ\)

Podemos usar esta ley para encontrar los lados \(b\) y \(c\):

1. **Encontrar el lado \(b\):**

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}
\]

Sabemos que:

\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]

Entonces:

\[
b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot \sqrt{2} \approx 14.14 \, \text{cm}
\]

2. **Encontrar el lado \(c\):**

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
c = \frac{10 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}
\]

Sabemos que:

\[
\sin 105^\circ = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ
\]

Y \(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

Entonces:

\[
c = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \approx 18.32 \, \text{cm}
\]

### Resultado Final

- Ángulo \(C = 105^\circ\)
- Lado \(b \approx 14.14 \, \text{cm}\)
- Lado \(c \approx 18.32 \, \text{cm}\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Tip:** En trigonometría, la Ley de los Senos es especialmente útil cuando conocemos dos ángulos y un lado (AAS) o dos lados y un ángulo no incluido (SSA).

¿Cómo se determinan los ángulos y los lados de un triángulo ABC con Ángulo A=30 grados, Ángulo B=45 grados, y Lado a=10 cm?

Discover how to solve a triangle ABC where A=30°, B=45°, and side a=10 cm. Using the Law of Sines and the angle sum property, this solution provides a step-by-step process to find angle C, side b (≈14.14 cm), and side c (≈18.32 cm). Ideal for Grades 10-12 students.

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