Identifique los vértices y los focos de la elipse x^2=4 y-2 y^2

Para identificar los vértices y los focos de la elipse dada por la ecuación \( x^2 = 4y - 2y^2 \), primero debemos reescribir la ecuación en su forma estándar.

### Paso 1: Reorganizar la ecuación
La ecuación dada es:
\[
x^2 = 4y - 2y^2
\]
Podemos reescribirla como:
\[
x^2 = -2(y^2 - 2y)
\]

### Paso 2: Completar el cuadrado para la variable \( y \)
Completemos el cuadrado en la expresión de \( y \):
\[
x^2 = -2\left[(y^2 - 2y + 1) - 1\right]
\]
\[
x^2 = -2[(y - 1)^2 - 1]
\]
\[
x^2 = -2(y - 1)^2 + 2
\]

### Paso 3: Reescribir en la forma estándar de una elipse
Ahora, reordenamos la ecuación para que tenga la forma estándar de una elipse:
\[
x^2 - 2 = -2(y - 1)^2
\]
\[
\frac{x^2}{2} + (y - 1)^2 = 1
\]

### Paso 4: Identificar los elementos clave de la elipse
La ecuación ya está en la forma estándar:
\[
\frac{x^2}{2} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1
\]

De esta ecuación, podemos identificar:
- **Centro**: El centro de la elipse es \((0, 1)\).
- **Longitud de los semiejes**: La longitud del semieje mayor es \(\sqrt{2}\) y la longitud del semieje menor es \(1\).

### Vértices
Los vértices están a una distancia de \(\sqrt{2}\) del centro a lo largo del eje \(x\):
- Los vértices están en \((- \sqrt{2}, 1)\) y \((\sqrt{2}, 1)\).

### Focos
La distancia focal se calcula como \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\), donde \(a = \sqrt{2}\) y \(b = 1\):
\[
c = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1
\]
Los focos están a una distancia de 1 unidad a lo largo del eje \(x\) desde el centro:
- Los focos están en \((-1, 1)\) y \((1, 1)\).

### Resumen:
- **Centro**: \((0, 1)\)
- **Vértices**: \((- \sqrt{2}, 1)\) y \((\sqrt{2}, 1)\)
- **Focos**: \((-1, 1)\) y \((1, 1)\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esto?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la excentricidad de una elipse?
2. ¿Qué representa la distancia focal en una elipse?
3. ¿Cómo se determinarían los ejes de una elipse si la ecuación no estuviera en la forma estándar?
4. ¿Qué métodos existen para identificar si una ecuación cónica representa una elipse?
5. ¿Cómo se transforma una elipse en una circunferencia?

### Tip:
Siempre revisa si puedes completar el cuadrado cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas; esto facilita la identificación de las formas estándar de cónicas.

Identifique los vértices y los focos de la elipse x^2 = 4y - 2y^2

Discover how to identify the vertices and foci of the ellipse given by the equation x^2 = 4y - 2y^2. This problem involves key concepts in analytic geometry, including rewriting equations into standard form, completing the square, and calculating focal distances. Suitable for students in Grades 10-12.

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