determiner x apartenant pentru care x^3-5x-2 est un cube parfait

Pour déterminer \( x \in \mathbb{Z} \) tel que \( x^3 - 5x - 2 \) soit un cube parfait, nous cherchons des valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression \( x^3 - 5x - 2 = y^3 \) où \( y \in \mathbb{Z} \).

1. **Résolution par essais successifs** : Nous allons essayer quelques valeurs entières de \( x \).

- Pour \( x = 0 \) : 
  \[
  x^3 - 5x - 2 = 0^3 - 5(0) - 2 = -2 
  \quad (\text{pas un cube parfait}).
  \]
- Pour \( x = 1 \) : 
  \[
  x^3 - 5x - 2 = 1^3 - 5(1) - 2 = 1 - 5 - 2 = -6 
  \quad (\text{pas un cube parfait}).
  \]
- Pour \( x = 2 \) :
  \[
  x^3 - 5x - 2 = 2^3 - 5(2) - 2 = 8 - 10 - 2 = -4 
  \quad (\text{pas un cube parfait}).
  \]
- Pour \( x = -1 \) :
  \[
  x^3 - 5x - 2 = (-1)^3 - 5(-1) - 2 = -1 + 5 - 2 = 2 
  \quad (\text{pas un cube parfait}).
  \]
- Pour \( x = -2 \) :
  \[
  x^3 - 5x - 2 = (-2)^3 - 5(-2) - 2 = -8 + 10 - 2 = 0 
  \quad (\text{0 est un cube parfait, car } 0^3 = 0).
  \]

Ainsi, **\( x = -2 \)** est une solution.

2. **Conclusion** : La valeur \( x = -2 \) est une solution de l'équation \( x^3 - 5x - 2 \) qui est un cube parfait (0 étant un cube parfait).

---

Est-ce que tu souhaites plus de détails ou as-tu des questions ?

Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir :

1. Comment prouver qu'il n'y a pas d'autres solutions possibles ?
2. Pourquoi le cube parfait 0 fonctionne ici comme solution ?
3. Comment pourrait-on utiliser une méthode plus générale pour résoudre cette équation ?
4. Quelles autres équations similaires peuvent être résolues de cette manière ?
5. Comment la nature des cubes parfaits influence-t-elle le comportement de cette équation ?

**Astuce** : Les cubes parfaits peuvent être négatifs, par exemple \( (-2)^3 = -8 \).

determiner x apartenant pour lequel x^3 - 5x - 2 est un cube parfait

Découvrez comment déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'expression x^3 - 5x - 2 est un cube parfait. Ce problème inclut des essais successifs et explore les concepts de cubes parfaits et d'équations cubiques, adapté pour les étudiants de niveaux 9 à 12.

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