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Peux-tu me faire la correction de cet exercice, merci

Nous avons une image contenant un exercice mathématique avec une partie en Python. L'exercice concerne la fonction \( f(x) = x^3 + x - 5 \) et un programme qui semble chercher un encadrement d'une solution de l'équation \( f(x) = 0 \) dans l'intervalle [1, 2]. Voici la correction demandée :

1. **Montrer que l’équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( c \) dans l’intervalle [1, 2]**:
   - **Dérivée de la fonction**: \( f'(x) = 3x^2 + 1 \), qui est toujours positive car \( x^2 \geq 0 \). Donc, \( f(x) \) est strictement croissante.
   - **Valeurs aux extrémités de l'intervalle**:
     - \( f(1) = 1^3 + 1 - 5 = -3 \)
     - \( f(2) = 2^3 + 2 - 5 = 5 \)
   - Puisque \( f(1) < 0 \) et \( f(2) > 0 \) et que \( f(x) \) est continue et strictement croissante, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe une unique solution \( c \) dans l'intervalle [1, 2].

2. **Analyse du programme Python**:
   - Le programme semble implémenter la méthode de bisection pour trouver un encadrement de la racine \( c \).
   - **a.** `sol(3)` initie 3 itérations de la méthode de bisection. Chaque itération réduit l'intervalle de moitié. Le résultat est un tuple représentant l'intervalle dans lequel la solution est encadrée après 3 itérations.
   - **b.** Pour obtenir un encadrement d'amplitude 0.0625, il faut diviser l'intervalle initial de 1.0 (2 - 1) en 16 (car \( 1/16 = 0.0625 \)). La méthode de bisection divise l'intervalle par deux à chaque itération. Donc, il faut \( \log_2(16) = 4 \) itérations. Ainsi, il faut appeler `sol(4)` pour obtenir un encadrement de cette amplitude.

Ceci donne un aperçu précis du fonctionnement du programme et des mathématiques sous-jacentes. Avez-vous des questions supplémentaires sur ce problème ou besoin de plus de détails sur une partie spécifique ?

Questions pour approfondir :

1. Pourquoi la dérivée positive garantit-elle une unique solution dans l'intervalle ?
2. Comment fonctionne le théorème des valeurs intermédiaires ?
3. Quelles sont les limitations de la méthode de bisection ?
4. Comment pourriez-vous modifier le programme pour qu'il retourne directement la valeur de la racine plutôt qu'un intervalle ?
5. Comment calculerait-on l'erreur exacte de l'estimation après un nombre donné d'itérations ?

Astuce : Lors de l'utilisation de la méthode de bisection en pratique, il est essentiel de s'assurer que la fonction change de signe sur l'intervalle initial pour garantir la présence d'une

Découvrez comment résoudre l'équation polynomiale f(x) = x^3 + x^2 - 5 à l'aide de la méthode de bissection. Cette solution pas à pas montre l'unicité de la solution dans l'intervalle [1, 2] et l'utilisation de la méthode numérique de bissection. Convient aux élèves de niveaux Grades 10-12.

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