Consideremos la recta -7x-6y=6.
Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (8, -3).

Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (8, -3).

Para resolver el problema, necesitamos encontrar dos rectas: una que sea perpendicular a la recta dada \( -7x - 6y = 6 \) y otra que sea paralela a ella. Ambas rectas deben pasar por el punto \((8, -3)\).

### 1. Convertir la ecuación dada a la forma pendiente-intersección

Primero, vamos a convertir la ecuación de la recta dada \( -7x - 6y = 6 \) a la forma pendiente-intersección \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente.

\[
-6y = 7x + 6
\]
\[
y = -\frac{7}{6}x - 1
\]

Entonces, la pendiente de la recta dada es \( m = -\frac{7}{6} \).

### 2. Ecuación de la recta perpendicular

Si una recta es perpendicular a otra, el producto de sus pendientes es \( -1 \). La pendiente de la recta perpendicular será:

\[
m_{\text{perpendicular}} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{7}{6}} = \frac{6}{7}
\]

La ecuación de la recta perpendicular es:

\[
y = \frac{6}{7}x + b
\]

Ahora, utilizamos el punto \((8, -3)\) para encontrar \( b \):

\[
-3 = \frac{6}{7}(8) + b
\]

\[
-3 = \frac{48}{7} + b
\]

\[
b = -3 - \frac{48}{7} = -\frac{21}{7} - \frac{48}{7} = -\frac{69}{7}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular es:

\[
y = \frac{6}{7}x - \frac{69}{7}
\]

### 3. Ecuación de la recta paralela

Si una recta es paralela a otra, ambas tienen la misma pendiente. Entonces, la pendiente de la recta paralela será también \( m = -\frac{7}{6} \).

La ecuación de la recta paralela será:

\[
y = -\frac{7}{6}x + b
\]

Usamos nuevamente el punto \((8, -3)\) para encontrar \( b \):

\[
-3 = -\frac{7}{6}(8) + b
\]

\[
-3 = -\frac{56}{6} + b = -\frac{28}{3} + b
\]

\[
b = -3 + \frac{28}{3} = \frac{-9}{3} + \frac{28}{3} = \frac{19}{3}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela es:

\[
y = -\frac{7}{6}x + \frac{19}{3}
\]

### Resumen:
- La ecuación de la recta **perpendicular** es \( y = \frac{6}{7}x - \frac{69}{7} \).
- La ecuación de la recta **paralela** es \( y = -\frac{7}{6}x + \frac{19}{3} \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la pendiente de una recta a partir de su ecuación general?
2. ¿Por qué el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a \(-1\)?
3. ¿Qué significa la pendiente negativa en una recta?
4. ¿Cómo podemos comprobar algebraicamente si dos rectas son paralelas?
5. ¿Qué implica gráficamente que dos rectas sean perpendiculares?

**Tip:** Cuando trabajes con pendientes fraccionarias, es útil simplificar fracciones en los cálculos intermedios para evitar errores.

Aprende a encontrar la ecuación de una recta perpendicular y paralela a una recta dada, que pasa por el punto (8, -3). Este problema cubre conceptos clave como pendientes, ecuaciones de rectas y el teorema del producto de pendientes de rectas perpendiculares. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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