Consideremos la recta y = 8x+1. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (-6, -2). Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (-6, -2)

Para resolver el problema, necesitamos encontrar dos rectas: una que sea paralela a la recta dada \( y = 8x + 1 \) y otra que sea perpendicular a ella. Ambas rectas deben pasar por el punto \((-6, -2)\).

### 1. Ecuación de la recta paralela

Si una recta es paralela a otra, ambas tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta dada \( y = 8x + 1 \) es \( m = 8 \).

Entonces, la ecuación de la recta paralela será de la forma:

\[
y = 8x + b
\]

Para determinar el valor de \( b \), utilizamos el punto \((-6, -2)\):

\[
-2 = 8(-6) + b
\]

\[
-2 = -48 + b
\]

\[
b = 46
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela es:

\[
y = 8x + 46
\]

### 2. Ecuación de la recta perpendicular

Si una recta es perpendicular a otra, el producto de sus pendientes es \( -1 \). La pendiente de la recta perpendicular será:

\[
m_{\text{perpendicular}} = -\frac{1}{8}
\]

Entonces, la ecuación de la recta perpendicular es de la forma:

\[
y = -\frac{1}{8}x + b
\]

Nuevamente, utilizamos el punto \((-6, -2)\) para determinar \( b \):

\[
-2 = -\frac{1}{8}(-6) + b
\]

\[
-2 = \frac{6}{8} + b
\]

\[
-2 = \frac{3}{4} + b
\]

\[
b = -2 - \frac{3}{4} = -\frac{8}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{11}{4}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular es:

\[
y = -\frac{1}{8}x - \frac{11}{4}
\]

### Resumen:
- La ecuación de la recta **paralela** es \( y = 8x + 46 \).
- La ecuación de la recta **perpendicular** es \( y = -\frac{1}{8}x - \frac{11}{4} \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la fórmula para la pendiente de una recta perpendicular?
2. ¿Qué sucede si cambiamos el punto de referencia \((-6, -2)\) por otro?
3. ¿Qué significado tiene la pendiente en el contexto de una recta?
4. ¿Cómo se puede verificar gráficamente si dos rectas son paralelas o perpendiculares?
5. ¿Cómo influye la pendiente en la inclinación de una recta?

**Tip:** Al trabajar con pendientes, recuerda que las pendientes de dos rectas perpendiculares siempre se multiplican para dar como resultado \(-1\).

Aprende cómo encontrar las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares a partir de una recta dada y un punto específico. Este problema cubre conceptos clave de geometría analítica, incluyendo ecuaciones de rectas y pendientes. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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