Escribe una ecuación para una línea que pase por los puntos (2, 5) y (4, 9).
a. Utilizando tu respuesta de la pregunta 6, escribe una ecuación para una línea
que sea paralela a esa línea y que pase por el punto (0, 1).
b. Ahora, escribe una ecuación para una línea que sea perpendicular a la línea de
la pregunta 6 y que pase por el punto (3, -2).

Para resolver el problema, primero debemos encontrar la ecuación de la línea que pasa por los puntos \((2, 5)\) y \((4, 9)\).

### Paso 1: Encontrar la pendiente de la línea original
La fórmula para la pendiente \(m\) de una línea que pasa por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) es:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Usamos los puntos \((2, 5)\) y \((4, 9)\):
\[
m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\]
La pendiente de la línea es \(m = 2\).

### Paso 2: Usar la fórmula de la pendiente-intersección
La fórmula de la ecuación de una línea en forma pendiente-intersección es:
\[
y = mx + b
\]
donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la intersección con el eje \(y\).

Podemos usar uno de los puntos para encontrar \(b\). Usaremos el punto \((2, 5)\):
\[
5 = 2(2) + b
\]
\[
5 = 4 + b
\]
\[
b = 1
\]
Por lo tanto, la ecuación de la línea que pasa por los puntos \((2, 5)\) y \((4, 9)\) es:
\[
y = 2x + 1
\]

### a. Ecuación de una línea paralela
Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces, la nueva línea tendrá la pendiente \(m = 2\). Dado que pasa por el punto \((0, 1)\), sustituimos estos valores en la fórmula \(y = mx + b\) para encontrar \(b\):
\[
1 = 2(0) + b
\]
\[
b = 1
\]
Por lo tanto, la ecuación de la línea paralela que pasa por el punto \((0, 1)\) es:
\[
y = 2x + 1
\]

### b. Ecuación de una línea perpendicular
Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos negativos. Dado que la pendiente de la línea original es \(2\), la pendiente de la línea perpendicular será:
\[
m = -\frac{1}{2}
\]
Ahora, usando el punto \((3, -2)\), sustituimos en la fórmula de la línea \(y = mx + b\) para encontrar \(b\):
\[
-2 = -\frac{1}{2}(3) + b
\]
\[
-2 = -\frac{3}{2} + b
\]
Sumamos \(\frac{3}{2}\) a ambos lados:
\[
b = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Por lo tanto, la ecuación de la línea perpendicular que pasa por el punto \((3, -2)\) es:
\[
y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo encontrar la ecuación de una línea que sea perpendicular a otra y pase por un punto dado?
2. ¿Qué significa que dos líneas sean paralelas en términos de su pendiente?
3. ¿Cómo se relacionan las pendientes de dos líneas perpendiculares?
4. ¿Cómo puedes encontrar la intersección con el eje \(y\) de una línea dada su pendiente y un punto?
5. ¿Qué sucede si dos puntos están en la misma línea vertical?

### Tip:
Para verificar si dos líneas son perpendiculares, sus pendientes deben multiplicarse para obtener \(-1\).

Aprende a resolver ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares con ejemplos detallados. Incluye cómo encontrar la pendiente y la intersección con el eje y utilizando puntos dados. Adecuado para estudiantes de secundaria y preparatoria.

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