un móvil se mueve a lo largo de una superficie semicircular. La distancia s(t) recorrida es proporcional al radio R del círculo y al ángulo θ con respecto a la horizontal. La fuerza de gravedad actúa tangencialmente al círculo, hacia abajo y puede aproximarse como F=-mg.
Plantee la ecuación de movimiento del cuerpo m=(d^2 s(t))/(dt^2 )=F. Resuelva la ecuación diferencial resultante primero para la velocidad angular  dθ/dt y con esta solución plantee la ecuación diferencial para el ángulo θ y resuélvala. Encuentre el tiempo que tarda en llegar al punto más bajo del semicírculo si parte desde una altura vertical R/10. ¿Cuál es la velocidad angular dθ/dt con la que llega?


### Planteamiento de la ecuación de movimiento

Primero, para describir el movimiento del móvil sobre la superficie semicircular, tenemos la ecuación de la distancia recorrida \( s(t) \) en términos del radio \( R \) y el ángulo \( \theta \), tal que:

\[
s(t) = R\theta(t)
\]

La segunda derivada de \( s(t) \) con respecto al tiempo, \( \frac{d^2 s(t)}{dt^2} \), nos da la aceleración tangencial. Esta se puede escribir como:

\[
\frac{d^2 s(t)}{dt^2} = R \frac{d^2 \theta}{dt^2}
\]

Dado que la fuerza de gravedad actúa tangencialmente, podemos relacionar la fuerza con la aceleración a través de la segunda ley de Newton:

\[
F = -mg \sin(\theta)
\]

Donde \( \theta \) es el ángulo con respecto a la horizontal. La fuerza \( F \) está en la dirección negativa del movimiento cuando el ángulo es positivo. Por lo tanto, la ecuación de movimiento se escribe como:

\[
m R \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mg \sin(\theta)
\]

Simplificando:

\[
R \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -g \sin(\theta)
\]

La ecuación diferencial resultante es:

\[
\frac

un móvil se mueve a lo largo de una superficie semicircular. La distancia s(t) recorrida es proporcional al radio R del círculo y al ángulo θ con respecto a la horizontal. La fuerza de gravedad actúa tangencialmente al círculo, hacia abajo y puede aproximarse como F=-mg. Plantee la ecuación de movimiento del cuerpo m=(d^2 s(t))/(dt^2 )=F. Resuelva la ecuación diferencial resultante primero para la velocidad angular dθ/dt y con esta solución plantee la ecuación diferencial para el ángulo θ y resuélvala. Encuentre el tiempo que tarda en llegar al punto más bajo del semicírculo si parte desde una altura vertical R/10. ¿Cuál es la velocidad angular dθ/dt con la que llega?

Este problema explora la ecuación de movimiento de un cuerpo en una superficie semicircular bajo la influencia de la gravedad, utilizando conceptos de ecuaciones diferenciales, cinemática y conservación de energía. Resuelve la ecuación para la velocidad angular y el ángulo, y encuentra el tiempo hasta el punto más bajo y la velocidad angular al llegar. Ideal para estudiantes universitarios en física y matemáticas avanzadas.

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