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puedes resolver por favor el punto A, hazlo paso a paso, recuerda que es cálculo integral. 

Voy a resolver el punto A del problema mostrado en la imagen, utilizando cálculo integral.

### Problema
Resolver la ecuación diferencial dada:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{x^2} + 1, \quad y(1) = 2
\]

### Paso 1: Identificación de la Ecuación
Esta es una **ecuación diferencial ordinaria de primer orden**. Está en una forma en la que se puede integrar directamente con respecto a \(x\).

### Paso 2: Separar las Variables e Integrar
Como la ecuación está ya en la forma \( \frac{dy}{dx} = f(x) \), podemos proceder a integrar ambos lados respecto a \(x\):

\[
\int \frac{dy}{dx} \, dx = \int \left(\frac{\sin(x)}{x^2} + 1\right) \, dx
\]

Esto nos lleva a:

\[
y(x) = \int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx + \int 1 \, dx
\]

### Paso 3: Integración
Ahora, resolvemos cada integral por separado:

1. **Integral de** \( \frac{\sin(x)}{x^2} \): Esta es una integral que generalmente no tiene una solución elemental (no se puede expresar en términos de funciones elementales simples). Sin embargo, podemos denotarla como una función especial o dejarla indicada en términos de la integral.

\[
\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx = I(x)
\]

2. **Integral de 1 respecto a \(x\)**:

\[
\int 1 \, dx = x
\]

Entonces la solución general es:

\[
y(x) = I(x) + x + C
\]

Donde \(I(x)\) representa la integral de \( \frac{\sin(x)}{x^2} \), y \(C\) es la constante de integración.

### Paso 4: Aplicar la Condición Inicial
Usamos la condición inicial \( y(1) = 2 \) para encontrar \(C\):

\[
2 = I(1) + 1 + C
\]

Entonces, \(C\) es:

\[
C = 2 - I(1) - 1 = 1 - I(1)
\]

### Paso 5: Escribir la Solución Final
La solución particular es:

\[
y(x) = I(x) + x + 1 - I(1)
\]

Donde \(I(x)\) es la integral indefinida de \( \frac{\sin(x)}{x^2} \), y \(I(1)\) es el valor de esa integral evaluada en \(x = 1\).

### Conclusión
La solución general de la ecuación diferencial es:

\[
\boxed{y(x) = \int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx + x + 1 - \int \frac{\sin(1)}{1^2} \, dx}
\]

Este resultado incluye una integral no elemental que se puede evaluar numéricamente si es necesario.

¿Tienes alguna pregunta adicional sobre esta solución o quieres detalles sobre algún paso en particular?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se aproximan integrales no elementales numéricamente?
2. ¿Qué son las funciones especiales y cómo se aplican en las ecuaciones diferenciales?
3. ¿Cómo afectan las condiciones iniciales a la forma de la solución en ecuaciones diferenciales?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?
5. ¿Qué es una solución particular en el contexto de ecuaciones diferenciales?

### Tip
Cuando encuentres una integral que no tiene una solución elemental, es útil buscar tablas de integrales o utilizar software matemático para obtener soluciones aproximadas.

Aprende cómo resolver una ecuación diferencial utilizando cálculo integral. Este problema aborda una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con una condición inicial específica. Ideal para estudiantes y entusiastas de las matemáticas avanzadas.

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