Die Gesamtkosten hängen von einem Parameter t (t>0) ab: Kt(x)=x^3-tx^2+3x+40 Ermitteln Sie einenökonomisch sinnvollen Definitionsbereich für den Parameter t.

Die Funktion \( K_t(x) = x^3 - t x^2 + 3x + 40 \) beschreibt die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Menge \( x \) und dem Parameter \( t \), wobei \( t > 0 \) gilt. Um einen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich für den Parameter \( t \) zu ermitteln, müssen wir sicherstellen, dass die Gesamtkostenfunktion für alle relevanten Werte von \( x \) sinnvoll definiert und interpretiert werden kann.

### 1. Ökonomische Interpretation
In einem ökonomischen Kontext sollten die Gesamtkosten für eine Produktionsmenge \( x \) immer positiv sein. Ein sinnvoller Definitionsbereich für \( t \) müsste also gewährleisten, dass die Funktion \( K_t(x) \) keine negativen Gesamtkosten für sinnvolle Werte von \( x \) produziert.

### 2. Untersuchung der Funktion
Der Term \( -t x^2 \) zeigt, dass für große Werte von \( t \) und \( x \), der Ausdruck \( K_t(x) \) negativ werden könnte. Dies ist ökonomisch unsinnig, da die Kostenfunktion nicht negativ sein kann.

### 3. Bestimmung eines sinnvollen Bereichs für \( t \)
Um dies zu verhindern, müssen wir sicherstellen, dass die Funktion \( K_t(x) \) für alle möglichen Werte von \( x \) positiv bleibt. Dafür betrachten wir die Funktion an bestimmten Stellen:

- **Für kleine \( x \):** Bei \( x = 0 \) ist \( K_t(0) = 40 \) unabhängig von \( t \) immer positiv.
- **Für größere \( x \):** Der dominante Term für große \( x \) ist \( x^3 \), der positiv ist. Wir müssen jedoch sicherstellen, dass \( -t x^2 \) nicht zu stark wächst, sodass der Ausdruck negativ wird.

Ein besonders kritischer Punkt ist der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion \( -t x^2 \). Für einen ökonomisch sinnvollen Bereich könnte man fordern, dass \( K_t(x) \) mindestens einen positiven Wert an einem spezifischen Wert von \( x \) erreicht, etwa bei \( x = 1 \) oder bei einem anderen kleinen Wert.

### 4. Wirtschaftlich sinnvoller Definitionsbereich
Wenn wir sicherstellen wollen, dass die Gesamtkostenfunktion immer positive Werte annimmt, muss der Parameter \( t \) so gewählt werden, dass er die Dominanz des Terms \( x^3 \) nicht übermäßig abschwächt. In der Praxis könnte der Parameter \( t \) daher nicht zu groß gewählt werden. Eine genauere Untersuchung müsste den Bereich für \( x \) näher spezifizieren, aber ein vernünftiger Ansatz wäre:

**\[ t \leq 3 \]**

Dieser Wert stellt sicher, dass \( t \) nicht so groß ist, dass die Gesamtkostenfunktion negativ wird.

**Zusammenfassung:** Ein ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich für den Parameter \( t \) könnte \( 0 < t \leq 3 \) sein. Innerhalb dieses Bereichs bleibt die Kostenfunktion positiv für sinnvolle Werte von \( x \).

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Haben Sie Fragen oder benötigen Sie detailliertere Informationen?

**5 relative Fragen:**
1. Wie beeinflusst der Parameter \( t \) die Steigung der Gesamtkostenfunktion?
2. Was passiert, wenn \( t > 3 \) gewählt wird? Welche Auswirkungen hat das auf \( K_t(x) \)?
3. Könnte man den Definitionsbereich von \( t \) vergrößern, wenn der Bereich von \( x \) eingeschränkt wird?
4. Wie sieht die Ableitung \( K_t'(x) \) aus und was sagt sie über die Wirtschaftlichkeit der Produktion aus?
5. Welche ökonomischen Interpretationen gibt es für den Fall \( t = 0 \)?

**Tipp:** Es ist oft hilfreich, die erste und zweite Ableitung einer Kostenfunktion zu untersuchen, um das Verhalten der Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge besser zu verstehen.

Die Gesamtkosten hängen von einem Parameter t (t>0) ab: Kt(x)=x^3-tx^2+3x+40. Ermitteln Sie einen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich für den Parameter t.

Explore how to determine an economically reasonable domain for the parameter t in the cost function Kt(x) = x^3 - tx^2 + 3x + 40. This problem involves understanding cost functions, analyzing critical points using derivatives, and ensuring economic viability for various production levels. Suitable for university-level students in economics or mathematics.

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