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Voy a resolver las preguntas del archivo que proporcionaste.

### **Pregunta 1: Identificación de funciones y determinación de dominio y rango.**

Para saber si una gráfica representa una función, debemos aplicar el **criterio de la recta vertical**: una gráfica es una función si, y solo si, ninguna recta vertical la corta en más de un punto.

Analicemos cada gráfica de la primera fila:

1. **Primera gráfica (izquierda)**:  
   - No es una función, porque una recta vertical corta la gráfica en dos puntos.  
   - **Dominio**: No es aplicable ya que no es una función.  
   - **Rango**: No es aplicable ya que no es una función.  

2. **Segunda gráfica (centro)**:  
   - Sí es una función, es una parábola con vértice en el origen.  
   - **Dominio**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  
   - **Rango**: Valores desde 0 hasta infinito \([0, ∞)\).  

3. **Tercera gráfica (derecha)**:  
   - Sí es una función, parece ser una parábola invertida.  
   - **Dominio**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  
   - **Rango**: Valores desde \(-∞\) hasta el valor máximo de la parábola \((-\infty, k]\), donde \(k\) es la coordenada y del vértice.

Analicemos la segunda fila:

4. **Cuarta gráfica (izquierda)**:  
   - No es una función, ya que es un círculo. Una recta vertical corta la gráfica en dos puntos.  
   - **Dominio**: No es aplicable.  
   - **Rango**: No es aplicable.  

5. **Quinta gráfica (centro)**:  
   - No es una función, ya que es una elipse. Una recta vertical corta la gráfica en dos puntos.  
   - **Dominio**: No es aplicable.  
   - **Rango**: No es aplicable.  

6. **Sexta gráfica (derecha)**:  
   - Sí es una función, es una hipérbola.  
   - **Dominio**: Todos los números reales excepto \(x = 0\) \((-∞, 0) \cup (0, ∞)\).  
   - **Rango**: Todos los números reales excepto \(y = 0\) \((-∞, 0) \cup (0, ∞)\).

Analicemos la tercera fila:

7. **Séptima gráfica (izquierda)**:  
   - Sí es una función, es una función raíz cuadrada.  
   - **Dominio**: Desde 0 hasta infinito \([0, ∞)\).  
   - **Rango**: Desde 0 hasta infinito \([0, ∞)\).  

8. **Octava gráfica (centro)**:  
   - Sí es una función, es una función lineal.  
   - **Dominio**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  
   - **Rango**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  

9. **Novena gráfica (derecha)**:  
   - Sí es una función, parece ser una función trigonométrica.  
   - **Dominio**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  
   - **Rango**: Valores dentro de un intervalo finito dependiente de la amplitud de la función.

### **Pregunta 2: Determinación de funciones y polinomios.**

Analicemos si cada expresión es una función y si es un polinomio:

a. \(3x^2 - 4y = 1\):  
   - No es una función de \(x\), ya que para un valor de \(x\) puede haber más de un valor de \(y\).

b. \(y = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 4 = 0\):  
   - Sí es una función de \(x\), pero no es un polinomio; es una función trigonométrica.

c. \(k(x) = \sqrt{2x - 1} \sqrt{3x + 2}\):  
   - Sí es una función, pero no es un polinomio; es una función irracional.

d. \(2y = \sqrt{x - 7}\):  
   - Sí es una función de \(x\), pero no es un polinomio; es una función irracional.

e. \(y = \frac{3x - 6}{x^2 - 4}\):  
   - Sí es una función, pero no es un polinomio; es una función racional.

f. \(y(x) = \frac{1}{x^4 - 4}\):  
   - Sí es una función, pero no es un polinomio; es una función racional.

g. \(x^2 + 12x + 7 + y^2 - 43 = 0\):  
   - No es una función de \(x\), porque para un valor de \(x\) puede haber más de un valor de \(y\).

h. \(f(x) = \sqrt{x^2 - 2}\):  
   - Sí es una función de \(x\), pero no es un polinomio; es una función irracional.

i. \(g(x) = \sqrt[4]{x - 2x + 1}\):  
   - Sí es una función, pero no es un polinomio; es una función irracional.

### **Pregunta 3: Raíces, dominio, rango y gráfica de las funciones.**

Para resolver esta pregunta, vamos a abordar un ejemplo representativo:

- **Ejemplo**: \(P(x) = x^2 - 6x + 9\)  
  - **Raíces (ceros)**: Factorizamos el polinomio:  
    \[x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \implies x = 3.\]  
    La raíz es \(x = 3\).  
  - **Dominio**: Todos los números reales \((-∞, ∞)\).  
  - **Rango**: Todos los números reales mayores o iguales a 0 \([0, ∞)\).  
  - **Gráfica**: Es una parábola con vértice en \((3, 0)\) que se abre hacia arriba.

Si deseas que aborde todas las funciones de la tercera pregunta o tienes alguna duda, no dudes en indicármelo. 

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo determinar el dominio y el rango de una función de forma analítica?
2. ¿Qué métodos existen para factorizar polinomios de grado mayor a 2?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una función y una relación?
4. ¿Cómo se identifican los tipos de funciones a partir de su gráfica?
5. ¿Qué métodos existen para encontrar las raíces de una función polinómica?

**Tip**: Al analizar una gráfica, usa siempre el criterio de la recta vertical para determinar si es una función.

Resuelve las preguntas relacionadas con funciones y polinomios, identificando cuál es una función y justifica el dominio, rango, y si es un polinomio.

Aprende a identificar funciones utilizando el criterio de la recta vertical, determina dominio y rango, y resuelve polinomios aplicando factorización. Ideal para estudiantes de secundaria que estudian funciones, polinomios y ecuaciones cuadráticas.

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