Und nun die Aufgabe:

Von 4 Städten A, B, C und D ist folgendes bekannt.
Die Entfernung zwischen A und B beträgt genau 4 km.
Die Entfernung zwischen B und C beträgt genau 5 km.
Die Entfernung zwischen A und C beträgt genau 6 km.
Die Entfernung zwischen A und D beträgt genau 7 km.
Die Entfernung zwischen C und D beträgt genau 8 km.
B und D sind weiter voneinander entfernt, als alle anderen Städte untereinander.
Gesucht ist die Entfernung zwischen B und D in Dezimetern (Runden!).

 

Um die Entfernung zwischen den Städten B und D zu bestimmen, beginnen wir mit der Analyse der Informationen.

Bekannt sind die Entfernungen zwischen den anderen Städten:
- A und B: 4 km
- B und C: 5 km
- A und C: 6 km
- A und D: 7 km
- C und D: 8 km

Der entscheidende Hinweis ist, dass die Entfernung zwischen B und D größer ist als jede andere Entfernung. Dies deutet darauf hin, dass die Dreiecksungleichung gilt und wir mit geometrischen Methoden, insbesondere dem Kosinussatz, arbeiten können.

### Schritt 1: Anwendung des Kosinussatzes im Dreieck ABC

Im Dreieck \(ABC\) verwenden wir den Kosinussatz, um den Winkel \(\gamma\) bei C zu berechnen:

\[
\cos(\gamma) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}
\]

Setzen wir die bekannten Werte ein:
\[
\cos(\gamma) = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = 0{,}125
\]

Daraus folgt:
\[
\gamma = \cos^{-1}(0{,}125)
\]

### Schritt 2: Berechnung der Entfernung BD

Nachdem wir den Winkel \(\gamma\) kennen, können wir erneut den Kosinussatz im Dreieck BCD anwenden, um die gesuchte Entfernung BD zu bestimmen. Wir setzen die bekannten Werte der Seiten und den Winkel \(\gamma\) in die Formel ein:

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\gamma)
\]

\[
BD^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\gamma)
\]

Nachdem wir den Winkel \(\gamma\) kennen, berechnen wir \(BD\) und runden das Ergebnis auf Dezimeter (1 km = 10.000 dm). Ich berechne das jetzt.Die Entfernung zwischen den Städten B und D beträgt gerundet **88.882 Dezimeter**.

Möchtest du weitere Details zu den Berechnungen oder zur Methodik erfahren?

Hier sind 5 verwandte Fragen, die dich weiter in das Thema Geometrie und Trigonometrie führen könnten:
1. Wie genau funktioniert der Kosinussatz in der Trigonometrie?
2. Wie kann man Dreiecksungleichungen zur Plausibilitätsprüfung von Entfernungen verwenden?
3. Welche anderen Methoden gibt es, Entfernungen in einem Netzwerk von Städten zu berechnen?
4. Wie beeinflusst die Kenntnis von Winkeln in einem Dreieck die Bestimmung unbekannter Seitenlängen?
5. Wie könnte man in einer anderen geometrischen Konstellation die Entfernung B-D schätzen?

**Tipp:** Der Kosinussatz ist besonders nützlich, wenn keine rechten Winkel in einem Dreieck vorhanden sind, da er allgemeiner als der Satz des Pythagoras ist.

Von 4 Städten A, B, C und D ist folgendes bekannt. Die Entfernung zwischen A und B beträgt genau 4 km. Die Entfernung zwischen B und C beträgt genau 5 km. Die Entfernung zwischen A und C beträgt genau 6 km. Die Entfernung zwischen A und D beträgt genau 7 km. Die Entfernung zwischen C und D beträgt genau 8 km. B und D sind weiter voneinander entfernt, als alle anderen Städte untereinander. Gesucht ist die Entfernung zwischen B und D in Dezimetern (Runden!).

Learn how to calculate the distance between cities B and D using the cosine rule. Given distances between cities A, B, C, and D, the solution applies trigonometric methods to find that the distance is approximately 88,882 dm. Suitable for students in Grades 10-12 studying geometry and trigonometry.

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