un avión vuela entre dos ciudades A y B que distancia entre si 75 Km. Las visuales desde A y B hasta el avión forman ángulos de 36° y 12° con la horizontal. Calcula la altura a la que vuela el avión y las distancias a las que se encuentra A y B, si el avión y las ciudades están sobre el mismo plano vertical.

El problema describe una situación en la que un avión vuela entre dos ciudades \( A \) y \( B \), que están separadas por una distancia de 75 km, y las visuales desde \( A \) y \( B \) forman ángulos de 36° y 12° con la horizontal, respectivamente. Para resolver esto, aplicaremos trigonometría.

Llamemos:

- \( h \) la altura del avión.
- \( d_A \) la distancia desde el avión hasta la ciudad \( A \).
- \( d_B \) la distancia desde el avión hasta la ciudad \( B \).

### Paso 1: Dibujar el triángulo
El avión, las ciudades \( A \) y \( B \) forman un triángulo rectángulo, donde:

- Los ángulos en \( A \) y \( B \) son de 36° y 12°, respectivamente.
- La base del triángulo es la distancia horizontal entre \( A \) y \( B \), que es de 75 km.
- Los catetos verticales son la altura \( h \) del avión.

### Paso 2: Relacionar las distancias con los ángulos
De acuerdo con la trigonometría, tenemos que:

1. \( \tan(36^\circ) = \frac{h}{d_A} \)  (para el ángulo en \( A \))
2. \( \tan(12^\circ) = \frac{h}{d_B} \)  (para el ángulo en \( B \))

Sabemos también que \( d_A + d_B = 75 \).

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones
De las ecuaciones de la tangente, obtenemos las siguientes expresiones para \( d_A \) y \( d_B \):

\[
d_A = \frac{h}{\tan(36^\circ)}
\]
\[
d_B = \frac{h}{\tan(12^\circ)}
\]

Y también sabemos que:

\[
d_A + d_B = 75
\]

Sustituyendo las expresiones de \( d_A \) y \( d_B \):

\[
\frac{h}{\tan(36^\circ)} + \frac{h}{\tan(12^\circ)} = 75
\]

Ahora podemos resolver esta ecuación para \( h \), la altura del avión.

### Paso 4: Cálculo de la altura

Primero, calculamos los valores de las tangentes:

\[
\tan(36^\circ) \approx 0.7265
\]
\[
\tan(12^\circ) \approx 0.2126
\]

Sustituyendo estos valores en la ecuación:

\[
\frac{h}{0.7265} + \frac{h}{0.2126} = 75
\]

Resolviendo esta ecuación para \( h \), calcularemos la altura a la que vuela el avión.

### Cálculo final

Voy a proceder a hacer el cálculo numérico.Parece que la solución simbólica de la altura es bastante complicada. Para obtener un valor numérico más claro, calcularé una aproximación decimal.La altura aproximada a la que vuela el avión es de 12.33 km.

### Paso 5: Cálculo de las distancias \( d_A \) y \( d_B \)

Ahora, podemos usar esta altura para calcular las distancias desde el avión a las ciudades \( A \) y \( B \) utilizando las ecuaciones:

\[
d_A = \frac{h}{\tan(36^\circ)} \quad \text{y} \quad d_B = \frac{h}{\tan(12^\circ)}
\]

Voy a calcular esas distancias.Parece que las expresiones para \( d_A \) y \( d_B \) también resultaron simbólicamente complejas. Procederé a obtener las aproximaciones decimales de las distancias.

Solve a trigonometry problem where an airplane flies between two cities A and B, with a distance of 75 km apart. Learn how to calculate the height of the airplane and its distances from cities A and B using trigonometric principles. Suitable for students in Grades 10-12.

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