Resolver la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria:

dydx=−2y

Condición inicial
y(0)=−5

Pregunta 3Seleccione una:

a.
y=−5e−5x



b.
y=−9e−2x



c.
y=−5e−3x



d.
y=−5e−2x

La ecuación diferencial ordinaria que nos dan es:

\[
\frac{dy}{dx} = -2y
\]

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, así que podemos resolverla de la siguiente manera:

1. **Separar las variables**:
   \[
   \frac{dy}{y} = -2 dx
   \]

2. **Integrar ambos lados**:
   \[
   \int \frac{1}{y} dy = \int -2 dx
   \]

   Esto da como resultado:
   \[
   \ln|y| = -2x + C
   \]
   donde \(C\) es la constante de integración.

3. **Despejar \(y\)**:
   Para eliminar el logaritmo natural, elevamos ambos lados a la potencia de \(e\):
   \[
   y = e^{-2x + C} = e^C \cdot e^{-2x}
   \]
   Si llamamos \(A = e^C\) (ya que \(e^C\) es una constante), obtenemos:
   \[
   y = A e^{-2x}
   \]

4. **Usar la condición inicial** \(y(0) = -5\):
   Sustituyendo \(x = 0\) y \(y(0) = -5\) en la solución general:
   \[
   -5 = A e^0 = A
   \]
   Por lo tanto, \(A = -5\).

   Finalmente, la solución particular es:
   \[
   y = -5 e^{-2x}
   \]

### Respuesta correcta:
**d. \(y = -5e^{-2x}\)**

---

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna duda? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para resolver ecuaciones diferenciales?
2. ¿Cómo afecta la condición inicial a la solución de una ecuación diferencial?
3. ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales pueden resolverse por separación de variables?
4. ¿Cómo afecta el valor de la constante de integración a la solución general?
5. ¿Cómo podemos verificar la solución de una ecuación diferencial?

**Tip:** En ecuaciones diferenciales lineales, la condición inicial te permite encontrar la constante de integración para obtener una solución particular.

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria: dydx=−2y Condición inicial y(0)=−5 Pregunta 3 Seleccione una: a. y=−5e−5x b. y=−9e−2x c. y=−5e−3x d. y=−5e−2x

Explore the step-by-step solution to the differential equation dy/dx = -2y with an initial condition y(0) = -5. This problem demonstrates the use of separation of variables, a fundamental method in solving first-order differential equations. Ideal for undergraduate students.

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