Hola me puedes ayudar realizando este ejercicio de ecuacion diferencial ordinaria.  dy/dx= -x/y

¡Hola! Claro que puedo ayudarte con esta ecuación diferencial ordinaria.

La ecuación que has proporcionado es:

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
\]

### Paso 1: Identificación del tipo de ecuación diferencial

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Podemos reescribirla de tal forma que todos los términos que involucren \(y\) estén de un lado de la ecuación y todos los términos que involucren \(x\) estén del otro lado. 

### Paso 2: Separación de variables

Reescribimos la ecuación para separar las variables:

\[
y \, dy = -x \, dx
\]

### Paso 3: Integración de ambos lados

Ahora integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int y \, dy = \int -x \, dx
\]

Al integrar, obtenemos:

\[
\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración.

### Paso 4: Simplificación de la solución general

Multiplicamos toda la ecuación por 2 para simplificar:

\[
y^2 = -x^2 + 2C
\]

Podemos reescribir esto como:

\[
y^2 + x^2 = 2C
\]

### Paso 5: Forma de la solución

Observamos que esta ecuación representa una familia de circunferencias con centro en el origen \((0,0)\) y radio \(\sqrt{2C}\). La solución general de la ecuación diferencial es:

\[
x^2 + y^2 = R^2, \quad \text{donde } R = \sqrt{2C}
\]

### Resumen

La solución general de la ecuación diferencial \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\) es una familia de circunferencias centradas en el origen con radio \(R\).

¿Te gustaría saber más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Qué es una ecuación diferencial de variables separables?
2. ¿Cómo se interpreta geométricamente la solución de esta ecuación diferencial?
3. ¿Cómo se encuentra la constante de integración \(C\) si se da una condición inicial?
4. ¿Qué representa la solución de la ecuación en términos de trayectorias?
5. ¿Cómo se resolvería una ecuación diferencial similar con diferentes coeficientes?

**Tip:** Cuando encuentres una ecuación diferencial de variables separables, intenta reorganizarla para que puedas integrar ambos lados fácilmente.

Hola me puedes ayudar realizando este ejercicio de ecuacion diferencial ordinaria. dy/dx= -x/y

Discover how to solve the ordinary differential equation dy/dx = -x/y using the method of separable variables. This solution involves key mathematical concepts such as differential equations and integration, ideal for undergraduate students.

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