Resuelve las siguientes Ecuaciones Diferenciales utilizando el método de
separación de variables  ⅆy/ⅆx=y^2/(1+x^2 )

Para resolver la ecuación diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 + x^2}\) usando el método de separación de variables, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Separar las variables
El objetivo del método de separación de variables es reordenar la ecuación de manera que todas las \(y\) estén en un lado y todas las \(x\) en el otro. Comenzamos separando las variables:

\[
\frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}
\]

### Paso 2: Integrar ambos lados
Ahora, integramos ambos lados de la ecuación.

Para el lado izquierdo:

\[
\int \frac{1}{y^2} \, dy = \int y^{-2} \, dy = \int y^{-2} \, dy = -\frac{1}{y} + C_1
\]

Para el lado derecho:

\[
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C_2
\]

### Paso 3: Escribir la solución general
Ahora, juntamos ambas integraciones para obtener la solución general:

\[
-\frac{1}{y} = \arctan(x) + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración combinada \(C = C_2 - C_1\).

### Paso 4: Despejar \(y\)
Finalmente, despejamos \(y\) para expresar la solución explícita en términos de \(y\):

\[
\frac{1}{y} = -\arctan(x) - C
\]

\[
y = \frac{-1}{\arctan(x) + C}
\]

Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Cómo se determina la constante de integración en las ecuaciones diferenciales?
2. ¿Qué sucede si no es posible separar las variables en una ecuación diferencial?
3. ¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial con condiciones iniciales?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una ecuación diferencial resuelta?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?

**Tip:** Al integrar, asegúrate de ajustar la constante de integración correctamente, ya que influye en la solución final de la ecuación diferencial.

Resuelve las siguientes Ecuaciones Diferenciales utilizando el método de separación de variables ⅆy/ⅆx=y^2/(1+x^2)

Learn how to solve the differential equation dy/dx = y^2/(1 + x^2) using the method of separation of variables. This step-by-step guide covers key mathematical concepts like integration and is suitable for first-year undergraduate students.

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