resuelva la ecuación diferencial con condición inicial dada usando las sustituciones adecuadas

 xy2dydx=y3−x3,y(1)=2

La ecuación diferencial a resolver es:

\[
x y^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - x^3
\]

con la condición inicial \( y(1) = 2 \).

### Paso 1: Reorganizar la ecuación diferencial
Empezamos dividiendo ambos lados de la ecuación por \( y^2 \):

\[
x \frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - x^3}{y^2}
\]

Esto se simplifica a:

\[
x \frac{dy}{dx} = y - \frac{x^3}{y^2}
\]

### Paso 2: Aplicar una sustitución adecuada
Dado que la ecuación es no lineal y tiene términos mezclados en \( x \) y \( y \), una sustitución adecuada es:

\[
v = \frac{y}{x}
\]

De este modo, podemos expresar \( y \) como:

\[
y = vx
\]

Ahora, derivamos \( y \) con respecto a \( x \) usando la regla del producto:

\[
\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}
\]

### Paso 3: Sustituir en la ecuación original
Sustituimos \( y = vx \) y \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) en la ecuación original:

\[
x (v + x \frac{dv}{dx}) = vx - \frac{x^3}{(vx)^2}
\]

Simplificamos el lado derecho:

\[
x(v + x \frac{dv}{dx}) = vx - \frac{x^3}{v^2 x^2}
\]

Esto se convierte en:

\[
x(v + x \frac{dv}{dx}) = vx - \frac{1}{v^2}
\]

### Paso 4: Reorganizar la ecuación
Multiplicamos ambos lados por \( x \) para simplificar la ecuación:

\[
v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{v^2}
\]

Cancelamos los términos de \( v \):

\[
x \frac{dv}{dx} = - \frac{1}{v^2}
\]

Esto es una ecuación diferencial separable.

### Paso 5: Separar las variables
Reorganizamos la ecuación para separar las variables \( v \) y \( x \):

\[
v^2 dv = -\frac{dx}{x}
\]

### Paso 6: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados:

\[
\int v^2 dv = - \int \frac{dx}{x}
\]

Las integrales son:

\[
\frac{v^3}{3} = -\ln|x| + C
\]

Multiplicamos por 3 para despejar \( v^3 \):

\[
v^3 = -3 \ln|x| + C_1
\]

### Paso 7: Deshacer la sustitución \( v = \frac{y}{x} \)
Recordamos que \( v = \frac{y}{x} \), por lo que tenemos:

\[
\left(\frac{y}{x}\right)^3 = -3 \ln|x| + C_1
\]

\[
\frac{y^3}{x^3} = -3 \ln|x| + C_1
\]

Multiplicamos ambos lados por \( x^3 \) para despejar \( y^3 \):

\[
y^3 = x^3 (-3 \ln|x| + C_1)
\]

### Paso 8: Usar la condición inicial \( y(1) = 2 \)
Sustituimos \( x = 1 \) y \( y = 2 \) en la ecuación para encontrar \( C_1 \):

\[
2^3 = 1^3 (-3 \ln|1| + C_1)
\]

\[
8 = C_1
\]

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

\[
y^3 = x^3 (-3 \ln|x| + 8)
\]

### Solución final
La solución de la ecuación diferencial con la condición inicial es:

\[
y^3 = x^3 (-3 \ln|x| + 8)
\]

o equivalente:

\[
y = \sqrt[3]{x^3 (-3 \ln|x| + 8)}
\]

¿Te gustaría que desarrolle más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones diferenciales con sustituciones?
2. ¿Qué otros métodos de solución existen para ecuaciones diferenciales no lineales?
3. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales separables y cómo se resuelven?
4. ¿Cómo usar la condición inicial para encontrar constantes de integración?
5. ¿Cómo interpretar soluciones implícitas de ecuaciones diferenciales?

### Tip:
Siempre intenta simplificar la ecuación antes de hacer sustituciones para facilitar el proceso de resolución.

resuelva la ecuación diferencial con condición inicial dada usando las sustituciones adecuadas: xy^2(dy/dx) = y^3 - x^3, y(1) = 2

Learn how to solve the nonlinear differential equation xy^2(dy/dx) = y^3 - x^3 with the initial condition y(1) = 2. This step-by-step solution covers key concepts such as substitution, separation of variables, and solving non-linear differential equations. Suitable for undergraduate students studying calculus or differential equations.

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