estudia la continuidad de la funcion, sin graficas

Para estudiar la continuidad de la función \( f(x) \) definida por partes, es necesario analizar la continuidad en los puntos donde la función cambia su definición, es decir, en \( x = 2 \) y \( x = 3 \).

La función es la siguiente:

\[
f(x) =
\begin{cases} 
-x^2 + 3x & \text{si } x < 2 \\
3 + x & \text{si } 2 \leq x < 3 \\
3 & \text{si } x \geq 3
\end{cases}
\]

### 1. Continuidad en \( x = 2 \):

#### a) Verificar si la función está definida en \( x = 2 \):
Para \( x = 2 \), usamos la segunda expresión de la función \( f(x) = 3 + x \), ya que esta define la función en el intervalo \( 2 \leq x < 3 \). Entonces:
\[
f(2) = 3 + 2 = 5
\]
Por lo tanto, \( f(2) \) está definida.

#### b) Límite por la izquierda (\( \lim_{x \to 2^-} f(x) \)):
Para \( x \to 2^- \), usamos la primera expresión de la función \( f(x) = -x^2 + 3x \), ya que esta es válida para \( x < 2 \). Calculamos el límite:
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = -2^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2
\]

#### c) Límite por la derecha (\( \lim_{x \to 2^+} f(x) \)):
Para \( x \to 2^+ \), usamos la segunda expresión de la función \( f(x) = 3 + x \), ya que esta es válida para \( 2 \leq x < 3 \). Calculamos el límite:
\[
\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 + 2 = 5
\]

#### d) Comparación de límites y valor de la función en \( x = 2 \):
- \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \)
- \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5 \)
- \(

Explore the continuity of a piecewise function, analyzing its behavior at key points such as x = 2 and x = 3. This detailed explanation covers the use of limits and the definition of continuity, suitable for students in Grades 10-12.

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