. Pruebe que si dos planos distintos son paralelos a un tercero entonces ellos son paralelos entre sí.

Para demostrar que si dos planos distintos son paralelos a un tercer plano, entonces ellos son paralelos entre sí, consideremos los planos \(\Pi_1\), \(\Pi_2\) y \(\Pi_3\).

### Hipótesis:
1. \(\Pi_1\) es paralelo a \(\Pi_3\).
2. \(\Pi_2\) es paralelo a \(\Pi_3\).

### Tesis:
\(\Pi_1\) es paralelo a \(\Pi_2\).

### Demostración:
Un plano puede ser descrito por una ecuación general de la forma:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
donde \(\mathbf{n} = (A, B, C)\) es el vector normal al plano.

- Sea \(\mathbf{n}_1\) el vector normal al plano \(\Pi_1\).
- Sea \(\mathbf{n}_2\) el vector normal al plano \(\Pi_2\).
- Sea \(\mathbf{n}_3\) el vector normal al plano \(\Pi_3\).

Dado que \(\Pi_1\) es paralelo a \(\Pi_3\), el vector normal \(\mathbf{n}_1\) es un múltiplo escalar del vector normal \(\mathbf{n}_3\). Es decir, existe un escalar \(\lambda_1\) tal que:
\[
\mathbf{n}_1 = \lambda_1 \mathbf{n}_3
\]

De manera similar, dado que \(\Pi_2\) es paralelo a \(\Pi_3\), el vector normal \(\mathbf{n}_2\) es un múltiplo escalar del vector normal \(\mathbf{n}_3\). Es decir, existe un escalar \(\lambda_2\) tal que:
\[
\mathbf{n}_2 = \lambda_2 \mathbf{n}_3
\]

Ahora, si \(\mathbf{n}_1 = \lambda_1 \mathbf{n}_3\) y \(\mathbf{n}_2 = \lambda_2 \mathbf{n}_3\), entonces podemos expresar el vector \(\mathbf{n}_1\) como un múltiplo escalar del vector \(\mathbf{n}_2\):
\[
\mathbf{n}_1 = \lambda_1 \mathbf{n}_3 = \lambda_1 \left(\frac{1}{\lambda_2} \mathbf{n}_2\right) = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right) \mathbf{n}_2
\]
Esto implica que \(\mathbf{n}_1\) es un múltiplo escalar de \(\mathbf{n}_2\), lo cual significa que \(\Pi_1\) es paralelo a \(\Pi_2\).

### Conclusión:
Por lo tanto, se ha demostrado que si dos planos distintos son paralelos a un tercero, entonces ellos son paralelos entre sí.

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si dos vectores son paralelos en el espacio tridimensional?
2. ¿Qué ocurre si uno de los planos es perpendicular al tercero?
3. ¿Cómo se ve afectada la demostración si los planos no son distintos?
4. ¿Qué implicaciones tiene esta propiedad para sistemas de planos en geometría tridimensional?
5. ¿Cómo se puede extender esta demostración a más de tres planos?

**Tip:** Recuerda que dos planos paralelos tienen vectores normales que son múltiplos escalarmente entre sí, lo que simplifica el análisis de su orientación en el espacio.

Pruebe que si dos planos distintos son paralelos a un tercero entonces ellos son paralelos entre sí.

Learn how to prove that if two distinct planes are parallel to a third, then they are parallel to each other. This solution covers geometric concepts of parallel planes, vector relationships, and step-by-step proofs using the general plane equation.

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