Razones de cambio económicas, a partir de las siguientes curvas, utilizando la derivación como razón cambio, determinar las funciones económicas correspondientes .

Una compañía constructora renta cada departamento en P dólares por mes cuando se rentan X departamentos Y  p=10  √300-2x

¿Cuántos departamentos deben de ser rentados para que el ingreso marginal sea cero?


Para resolver este problema, primero debemos entender cómo la derivación nos ayuda a encontrar la **razón de cambio** de una función. En el contexto económico, la derivada de una función de ingresos con respecto a la cantidad de departamentos rentados nos da el **ingreso marginal**.

### Paso 1: Definir la función de ingreso total
El ingreso total \( R(x) \) se obtiene multiplicando el precio de renta por departamento \( P(x) \) por el número de departamentos rentados \( x \):

\[
R(x) = P(x) \cdot x
\]

Dado que \( P(x) = 10 \sqrt{300 - 2x} \), podemos escribir:

\[
R(x) = 10x \sqrt{300 - 2x}
\]

### Paso 2: Derivar la función de ingreso total para obtener el ingreso marginal
El **ingreso marginal** \( R'(x) \) es la derivada de la función de ingreso total con respecto a \( x \):

\[
R'(x) = \frac{d}{dx}\left(10x \sqrt{300 - 2x}\right)
\]

Para derivar este producto de funciones, utilizaremos la **regla del producto**:

\[
R'(x) = 10 \left[\sqrt{300 - 2x} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{300 - 2x}\right)\right]
\]

La derivada de \( \sqrt{300 - 2x} \) con respecto a \( x \) se puede calcular usando la **regla de la cadena**:

\[
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{300 - 2x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{300 - 2x}} \cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{300 - 2x}}
\]

Entonces, la derivada total será:

\[
R'(x) = 10 \left[\sqrt{300 - 2x} - \frac{x}{\sqrt{300 - 2x}}\right]
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
R'(x) = 10 \cdot \frac{300 - 2x - x}{\sqrt{300 - 2x}} = 10 \cdot \frac{300 - 3x}{\sqrt{300 - 2x}}
\]

### Paso 3: Establecer el ingreso marginal igual a cero y resolver para \( x \)
Para encontrar cuántos departamentos deben ser rentados para que el ingreso marginal sea cero, establecemos:

\[
R'(x) = 0 \Rightarrow 10 \cdot \frac{300 - 3x}{\sqrt{300 - 2x}} = 0
\]

Esto implica que el numerador debe ser cero:

\[
300 - 3x = 0
\]

Resolviendo para \( x \):

\[
3x = 300 \Rightarrow x = 100
\]

### Conclusión
**La compañía constructora debe rentar 100 departamentos para que el ingreso marginal sea cero.**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el precio por departamento a la cantidad óptima de departamentos rentados?
2. ¿Qué interpretación económica tiene el ingreso marginal en este contexto?
3. ¿Cómo se relaciona el ingreso marginal con la maximización del ingreso total?
4. ¿Qué sucede con el ingreso total cuando se rentan más de 100 departamentos?
5. ¿Cómo se podría aplicar este concepto de ingreso marginal en otros sectores de la economía?

**Tip:** En economía, el ingreso marginal es crucial para determinar el punto óptimo de operación, donde se maximiza el beneficio o ingreso total.

Razones de cambio económicas, a partir de las siguientes curvas, utilizando la derivación como razón cambio, determinar las funciones económicas correspondientes. Una compañía constructora renta cada departamento en P dólares por mes cuando se rentan X departamentos Y  p=10  √300-2x. ¿Cuántos departamentos deben de ser rentados para que el ingreso marginal sea cero?

Discover how to determine the number of apartments that need to be rented for zero marginal revenue using derivative applications. This problem involves concepts from calculus such as the product rule, chain rule, and marginal revenue optimization. Ideal for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation