13. Estudia la continuidad de la siguiente función y dibuja su gráfica:
f(x) = {
−x
2 + 3x; si x < 2
3 + x; si 2 ≤ x < 3
3; si x ≥ 3

Para estudiar la continuidad de la función \( f(x) \) definida por partes, debemos verificar si en los puntos donde cambia la definición de la función (en este caso, en \( x = 2 \) y \( x = 3 \)) se cumplen las condiciones de continuidad. Estas condiciones son:

1. La función está definida en ese punto.
2. El límite de la función cuando \( x \) tiende a ese punto existe.
3. El valor de la función en ese punto coincide con el límite.

La función es la siguiente:

\[
f(x) =
\begin{cases} 
-x^2 + 3x & \text{si } x < 2 \\
3 + x & \text{si } 2 \leq x < 3 \\
3 & \text{si } x \geq 3
\end{cases}
\]

### 1. Continuidad en \( x = 2 \):

- **Función definida**: Para \( x = 2 \), usamos la segunda parte de la función \( f(x) = 3 + x \). Entonces, \( f(2) = 3 + 2 = 5 \).
- **Límite por la izquierda** \( (x \to 2^-) \): Usamos la primera parte de la función \( f(x) = -x^2 + 3x \). Calculamos:
  \[
  \lim_{x \to 2^-} f(x) = -2^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2
  \]
- **Límite por la derecha** \( (x \to 2^+) \): Usamos la segunda parte de la función \( f(x) = 3 + x \). Calculamos:
  \[
  \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 + 2 = 5
  \]

Como los límites por la izquierda y la derecha no coinciden (2 por la izquierda y 5 por la derecha), la función **no es continua en \( x = 2 \)**.

### 2. Continuidad en \( x = 3 \):

- **Función definida**: Para \( x = 3 \), usamos la tercera parte de la función \( f(x) = 3 \). Entonces, \( f(3) = 3 \).
- **Límite por la izquierda** \( (x \to 3^-) \): Usamos la segunda parte de la función \( f(x) = 3 + x \). Calculamos:
  \[
  \lim_{x \to 3^-} f(x) = 3 + 3 = 6
  \]
- **Límite por la derecha** \( (x \to 3^+) \): Para \( x > 3 \), la función toma el valor constante \( f(x) = 3 \). Entonces:
  \[
  \lim_{x \to 3^+} f(x) = 3
  \]

Como los límites por la izquierda y la derecha no coinciden (6 por la izquierda y 3 por la derecha), la función **no es continua en \( x = 3 \)**.

### Conclusión:

La función \( f(x) \) **no es continua en \( x = 2 \)** ni en \( x = 3 \)**.

### Gráfica de la función:

Para trazar la gráfica de la función, necesitamos dibujar cada una de las partes por separado, asegurándonos de marcar correctamente los puntos de discontinuidad en \( x = 2 \) y \( x = 3 \).

1. Para \( x < 2 \), la función es \( -x^2 + 3x \), una parábola invertida.
2. Para \( 2 \leq x < 3 \), la función es una recta con pendiente 1.
3. Para \( x \geq 3 \), la función es constante \( f(x) = 3 \).

¿Te gustaría que genere la gráfica de esta función?

13. Estudia la continuidad de la siguiente función y dibuja su gráfica: f(x) = {−x^2 + 3x; si x < 2, 3 + x; si 2 ≤ x < 3, 3; si x ≥ 3}

Este problema examina la continuidad de una función definida por partes: f(x) = {−x^2 + 3x; si x < 2, 3 + x; si 2 ≤ x < 3, 3; si x ≥ 3}. Incluye un análisis detallado de los puntos de discontinuidad y la gráfica de la función. Relevante para estudiantes en los grados 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation