En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistema:
a) No tiene solución
b) Tiene soluciones infinitas
c) Tiene solución única

Dado un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro \( k \), se puede analizar la existencia de soluciones, el número de soluciones, y las condiciones bajo las cuales estas ocurren.

Supongamos que el sistema de ecuaciones es el siguiente:

\[
\begin{aligned}
    \text{Primera ecuación:} \quad a_1x + b_1y &= c_1 \\
    \text{Segunda ecuación:} \quad a_2x + b_2y &= c_2
\end{aligned}
\]

Donde \( a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \) son coeficientes que pueden depender de \( k \).

### Procedimiento general:

1. **Sistema incompatible (sin solución):**
   - El sistema no tiene solución cuando las dos ecuaciones son inconsistentes, es decir, cuando son paralelas pero no coincidentes. Esto sucede cuando:
   \[
   \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \quad \text{pero} \quad \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}
   \]

2. **Sistema compatible indeterminado (soluciones infinitas):**
   - El sistema tiene soluciones infinitas cuando las dos ecuaciones son coincidentes, es decir, una es múltiplo de la otra. Esto ocurre cuando:
   \[
   \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}
   \]

3. **Sistema compatible determinado (solución única):**
   - El sistema tiene una única solución cuando las dos rectas se intersectan en un solo punto. Esto sucede cuando:
   \[
   \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
   \]

### Ejemplo con un sistema específico:

Si tenemos un sistema concreto, como:

\[
\begin{aligned}
    x + ky &= 1 \\
    3x + (k+2)y &= 5
\end{aligned}
\]

**a) No tiene solución:**

1. Calcular las razones:
   \[
   \frac{1}{3} \quad \text{y} \quad \frac{k}{k+2}
   \]
   Deben ser iguales para que las rectas sean paralelas pero no coincidentes, pero diferentes de la razón de los términos independientes:
   \[
   \frac{1}{5}
   \]
   Se igualan las dos razones y se resuelve:
   \[
   \frac{1}{3} = \frac{k}{k+2} \quad \text{y} \quad \frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}
   \]
   Solucionando \( k(k + 2) = 3k \), resulta \( k = 0 \) o \( k = -2 \), pero la condición para que no tenga solución ocurre en \( k = 0 \).

**b) Tiene soluciones infinitas:**

1. La razón de los coeficientes debe ser igual a la razón de los términos independientes:
   \[
   \frac{1}{3} = \frac{k}{k+2} = \frac{1}{5}
   \]

   Al resolver \( \frac{1}{3} = \frac{1}{5} \) se obtiene una contradicción, así que no hay \( k \) que haga que esto sea verdad.

**c) Tiene solución única:**

1. Esto ocurre cuando las pendientes de las rectas son diferentes, es decir:
   \[
   \frac{1}{3} \neq \frac{k}{k+2}
   \]
   Esto es cierto para cualquier valor de \( k \) que no sea \( 0 \).

En resumen:

- **a) No tiene solución cuando \( k = 0 \).**
- **b) No tiene soluciones infinitas para ningún valor de \( k \).**
- **c) Tiene solución única para \( k \neq 0 \).**

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**Tip:** En sistemas lineales, observar las razones de los coeficientes es clave para determinar el tipo de solución.

Explore how to determine the existence and types of solutions for a system of linear equations with a parameter k. This detailed explanation covers scenarios where the system has no solution, infinite solutions, or a unique solution based on the parameter k. Suitable for high school students studying linear algebra.

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