5. Con el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 resuelve (utiliza método de eliminación): 
{
 𝒙+𝟑𝒚+𝒛=𝟓
 𝒂𝒙+𝟐𝒛 =𝟎
 𝒂𝒚−𝒛=𝒂
 a. Calcula a de tal forma que el sistema tenga una única solución. Calcula la solución para a=1 
b. Calcula a de tal forma que el sistema tenga infinitas soluciones. 
c. Calcula a de tal forma que el sistema no tenga solución. 

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones utilizando el **método de eliminación** y a analizar las condiciones para \(a\) en los tres casos solicitados.

### Sistema de ecuaciones

\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + 3y + z = 5 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
2) & \quad ax + 2z = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
3) & \quad ay - z = a \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

### a) Determinar \( a \) para que el sistema tenga una única solución y resolver para \( a = 1 \)

Para que el sistema tenga una única solución, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser diferente de cero.

1. **Matriz de coeficientes:**

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
a & 0 & 2 \\
0 & a & -1
\end{pmatrix}
\]

2. **Determinante de la matriz \( A \):**

\[
\text{Det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 2 \\
a & -1
\end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix}
a & 2 \\
0 & -1
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
a & 0 \\
0 & a
\end{vmatrix}
\]

Calculamos cada menor:

\[
\text{Det}(A) = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 2 \cdot a) - 3 \cdot (a \cdot (-1) - 2 \cdot 0) + 1 \cdot (a \cdot a - 0 \cdot 0)
\]

Simplificamos:

\[
\text{Det}(A) = -2a + 3a + a^2 = a^2 + a
\]

Para que el sistema tenga una única solución:

\[
\text{Det}(A) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a(a + 1) \neq 0
\]

Esto significa que \( a \neq 0 \) y \( a \neq -1 \).

Ahora, resolvemos el sistema para \( a = 1 \):

1. **Sustitución de \( a = 1 \) en el sistema:**

\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
x + 2z &= 0 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
y - z &= 1 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

2. **Eliminación:**
   - De la Ecuación 2: \( x = -2z \).
   - Sustituimos \( x = -2z \) en la Ecuación 1:

   \[
   -2z + 3y + z = 5 \quad \Rightarrow \quad -z + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad z = 3y - 5
   \]

   - Sustituimos \( z = 3y - 5 \) en la Ecuación 3:

   \[
   y - (3y - 5) = 1 \quad \Rightarrow \quad -2y + 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad -2y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = 2
   \]

   - Finalmente, sustituimos \( y = 2 \) en \( z = 3y - 5 \):

   \[
   z = 3(2) - 5 = 1
   \]

   - Y para \( x \):

   \[
   x = -2z = -2(1) = -2
   \]

La solución es \( x = -2 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \).

### b) Determinar \( a \) para que el sistema tenga infinitas soluciones

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero, y además debe existir dependencia lineal entre las ecuaciones.

Ya calculamos el determinante:

\[
a(a + 1) = 0
\]

Por lo tanto, el determinante es cero si \( a = 0 \) o \( a = -1 \).

Ahora verificamos si hay infinitas soluciones:

1. **Para \( a = 0 \):**

El sistema se convierte en:

\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
0x + 2z &= 0 \quad \Rightarrow \quad z = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
0y - z &= 0 \quad \Rightarrow \quad z = 0 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

Sustituyendo \( z = 0 \) en la Ecuación 1:

\[
x + 3y = 5
\]

Este sistema tiene infinitas soluciones porque no se puede determinar un valor único para \( y \) ni para \( x \).

### c) Determinar \( a \) para que el sistema no tenga solución

Para que el sistema no tenga solución, el determinante debe ser cero, pero los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz aumentada deben ser diferentes, indicando inconsistencia.

1. **Para \( a = -1 \):**

El sistema se convierte en:

\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
-x + 2z &= 0 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
-y - z &= -1 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

Sustituyendo \( z \) de la Ecuación 3 en Ecuación 1:

\[
z = -1 - y
\]

Sustituyendo en Ecuación 1:

\[
x + 3y + (-1 - y) = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 2y - 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 2y = 6 \quad (Ecuación 4)
\]

Ahora comparando Ecuación 4 con la Ecuación 2:

\[
-x + 2(-1 - y) = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2y \neq 6
\]

Esto indica que el sistema es **incompatible** y no tiene solución.

¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se identifica la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué es el rango de una matriz y cómo afecta la solución de un sistema?
3. ¿Qué significa cuando un sistema es incompatible?
4. ¿Cómo se aplican los métodos de eliminación en sistemas no homogéneos?
5. ¿Qué técnicas se pueden usar para verificar si un sistema tiene infinitas soluciones?

**Tip:** Recuerda que un determinante nulo indica que el sistema puede ser dependiente, lo que podría llevar a infinitas soluciones o ninguna solución, dependiendo de las condiciones adicionales.

Learn how to solve a 3x3 system of linear equations using the elimination method. Explore different scenarios such as unique solutions, infinite solutions, and no solutions based on the parameter a in the equations. Suitable for high school students studying systems of linear equations.

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