Una llave de 30 cm de largo se tiende a lo largo del eje y positivo y sujeta un tornillo en el origen. Una fuerza se aplica en la dirección (0, 3, -4) al extremo de la llave. Determine la
magnitud de la fuerza necesaria para proporcionar al tornillo
un momento de torsión de 100 N • m

Para resolver este problema, necesitamos calcular la magnitud de la fuerza necesaria que proporciona un momento de torsión de 100 N·m sobre el tornillo. Vamos a utilizar la fórmula del momento de torsión:

\[
\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}
\]

Donde:
- \(\mathbf{M}\) es el momento de torsión,
- \(\mathbf{r}\) es el vector de posición (que corresponde a la longitud de la llave),
- \(\mathbf{F}\) es la fuerza aplicada,
- \(\times\) denota el producto cruzado.

### Paso 1: Determinar los vectores \(\mathbf{r}\) y \(\mathbf{F}\)
El vector de posición \(\mathbf{r}\) es la longitud de la llave en el eje \(y\) positivo, por lo que:

\[
\mathbf{r} = (0, 0.3, 0) \, \text{m}
\]

La fuerza se aplica en la dirección \((0, 3, -4)\). Podemos escribir el vector de fuerza \(\mathbf{F}\) como:

\[
\mathbf{F} = F \cdot (0, 3, -4)
\]

Donde \(F\) es la magnitud desconocida de la fuerza.

### Paso 2: Calcular el momento de torsión \(\mathbf{M}\)
El momento de torsión se calcula usando el producto cruzado entre \(\mathbf{r}\) y \(\mathbf{F}\):

\[
\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0.3 & 0 \\ 0 & 3F & -4F \end{vmatrix}
\]

Calculamos el determinante:

\[
\mathbf{M} = \mathbf{i}(0.3 \times (-4F) - 0 \times 3F) - \mathbf{j}(0 \times (-4F) - 0 \times 0) + \mathbf{k}(0 \times 3F - 0 \times 0.3)
\]

\[
\mathbf{M} = \mathbf{i}(-1.2F) + \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0)
\]

Por lo tanto, el vector momento de torsión es:

\[
\mathbf{M} = (-1.2F, 0, 0) \, \text{N·m}
\]

### Paso 3: Igualar la magnitud del momento de torsión
Dado que la magnitud del momento de torsión es de 100 N·m, podemos escribir:

\[
|M| = 1.2F = 100 \, \text{N·m}
\]

Despejando \(F\):

\[
F = \frac{100}{1.2} \, \text{N}
\]

\[
F \approx 83.33 \, \text{N}
\]

### Respuesta final:
La magnitud de la fuerza necesaria es aproximadamente **83.33 N**.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

---

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la longitud de la llave al momento de torsión?
2. ¿Qué ocurriría si la dirección de la fuerza estuviera alineada con la llave?
3. ¿Cómo se calcula el producto cruzado entre dos vectores?
4. ¿Qué es el momento de torsión y cómo se aplica en ingeniería?
5. ¿Por qué se usa el producto cruzado para calcular el momento de torsión?

**Tip:** Siempre verifica las unidades en tus cálculos para asegurarte de que sean consistentes, especialmente en problemas de física.

Learn how to calculate the magnitude of force required to produce a torque of 100 N·m on a screw using vector analysis and cross product. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation