encuentre \frac{d}{dx}\left(tan\left(ax^b\right)\right)  y evalela cuando x=5 donde a=14 b=18

Para encontrar la derivada de la función \( f(x) = \tan(ax^b) \) respecto a \( x \), utilizaremos la regla de la cadena.

1. **Derivada de \( \tan(u) \) respecto a \( u \)**:
   \[
   \frac{d}{du}(\tan(u)) = \sec^2(u)
   \]
   
2. **Derivada de \( u = ax^b \) respecto a \( x \)**:
   \[
   \frac{d}{dx}(ax^b) = abx^{b-1}
   \]

Aplicando la regla de la cadena:

\[
\frac{d}{dx}\left(\tan(ax^b)\right) = \sec^2(ax^b) \cdot \frac{d}{dx}(ax^b) = \sec^2(ax^b) \cdot abx^{b-1}
\]

Ahora, evaluamos la derivada cuando \( x = 5 \), \( a = 14 \), y \( b = 18 \):

1. Calculamos \( u = ax^b = 14 \cdot 5^{18} \).
2. Evaluamos la derivada:
   \[
   \frac{d}{dx}\left(\tan(ax^b)\right)\Big|_{x=5} = \sec^2(14 \cdot 5^{18}) \cdot 14 \cdot 18 \cdot 5^{17}
   \]

Esto dará la derivada en \( x = 5 \).

Voy a calcular este valor exacto para ti.La derivada de la función \( f(x) = \tan(14x^{18}) \) respecto a \( x \), evaluada en \( x = 5 \), es aproximadamente \( 1.9575 \times 10^{14} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan otras funciones trigonométricas?
2. ¿Qué sucede si cambiamos los valores de \( a \) y \( b \)?
3. ¿Cómo se aplican las reglas de derivación en otras funciones compuestas?
4. ¿Qué papel juega la regla de la cadena en cálculo diferencial?
5. ¿Cómo se comporta la función \( \tan(x) \) en el dominio complejo?

**Tip:** Cuando trabajes con funciones trigonométricas, recuerda que sus derivadas suelen implicar otras funciones trigonométricas. Esto es crucial en cálculo y análisis.

Explore the derivative of tan(14x^18) with detailed step-by-step solution and evaluation at x=5. Learn the application of the chain rule and trigonometric function differentiation. Suitable for advanced high school students or calculus enthusiasts.

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