1. Determinar si la ecuación
2
4 20 24 97 0 x x y − − + = representa una parábola,
en caso afirmativo, obtener las coordenadas del vértice

Para determinar si la ecuación representa una parábola y, en caso afirmativo, obtener las coordenadas del vértice, primero necesitamos reorganizar y analizar la ecuación.

La ecuación dada es:

\[
2x^2 - 4xy + 20x - 24y + 97 = 0
\]

### Paso 1: Reorganizar la ecuación
Primero, agrupemos los términos según las variables \(x\) y \(y\):

\[
2x^2 - 4xy + 20x - 24y + 97 = 0
\]

### Paso 2: Analizar los términos cuadráticos
En una cónica, el término que indica si es una parábola es la forma cuadrática, que en este caso es:

\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2
\]

Comparando con la ecuación dada:

- \(A = 2\)
- \(B = -4\)
- \(C = 0\)

Para determinar la naturaleza de la cónica, utilizamos el discriminante de la cónica \( \Delta \), definido como:

\[
\Delta = B^2 - 4AC
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4(2)(0) = 16 - 0 = 16
\]

### Paso 3: Determinar la cónica
- Si \( \Delta > 0 \), la cónica es una **hipérbola**.
- Si \( \Delta = 0 \), la cónica es una **parábola**.
- Si \( \Delta < 0 \), la cónica es una **elipse** o **círculo** (si \(A = C\)).

En este caso, \( \Delta = 16 > 0 \), por lo que la ecuación dada representa una **hipérbola**, no una parábola.

Dado que la ecuación representa una hipérbola y no una parábola, no es aplicable el cálculo del vértice para una parábola.

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se determinan los ejes y los focos de una hipérbola?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una hipérbola y una elipse en términos de sus propiedades?
3. ¿Cómo se encuentra el centro de una hipérbola a partir de su ecuación?
4. ¿Qué sucede si el término \( C \) no es igual a 0 en una ecuación cónica?
5. ¿Cómo se grafican las cónicas a partir de sus ecuaciones generales?

**Tip:** El discriminante es una herramienta clave para identificar el tipo de cónica que representa una ecuación cuadrática general.

Descubre si la ecuación 2x^2 - 4xy + 20x - 24y + 97 = 0 representa una parábola o una hipérbola mediante el análisis del discriminante. Este problema aborda conceptos avanzados de secciones cónicas y el uso del discriminante en ecuaciones cónicas. Adecuado para estudiantes de secundaria superior.

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