Hallar las caracteristicas de la Hiperbola: 5x ^ x - 6y ^ 2 - 30x + 48y - 81 = 0

Para hallar las características de la hipérbola dada por la ecuación \( 5x^2 - 6y^2 - 30x + 48y - 81 = 0 \), primero reescribimos la ecuación en su forma canónica. Esto se logra completando cuadrados tanto en \( x \) como en \( y \).

### Paso 1: Agrupar términos en \( x \) y \( y \)
Agrupemos los términos que contienen \( x \) y \( y \):

\[
5(x^2 - 6x) - 6(y^2 - 8y) = 81
\]

### Paso 2: Completar el cuadrado
Ahora, completamos el cuadrado en ambas expresiones.

#### Para \( x^2 - 6x \):
La mitad de \( -6 \) es \( -3 \), y su cuadrado es \( 9 \). Entonces:

\[
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
\]

Multiplicamos por \( 5 \):

\[
5(x^2 - 6x) = 5((x - 3)^2 - 9) = 5(x - 3)^2 - 45
\]

#### Para \( y^2 - 8y \):
La mitad de \( -8 \) es \( -4 \), y su cuadrado es \( 16 \). Entonces:

\[
y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16
\]

Multiplicamos por \( -6 \):

\[
-6(y^2 - 8y) = -6((y - 4)^2 - 16) = -6(y - 4)^2 + 96
\]

### Paso 3: Sustituir en la ecuación original
Sustituimos las expresiones completadas en la ecuación:

\[
5(x - 3)^2 - 45 - 6(y - 4)^2 + 96 = 81
\]

Simplificamos:

\[
5(x - 3)^2 - 6(y - 4)^2 + 51 = 81
\]

Restamos \( 51 \) de ambos lados:

\[
5(x - 3)^2 - 6(y - 4)^2 = 30
\]

### Paso 4: Dividir por 30
Dividimos toda la ecuación entre 30 para obtener la forma canónica:

\[
\frac{(x - 3)^2}{6} - \frac{(y - 4)^2}{5} = 1
\]

Esta es la forma canónica de la hipérbola.

### Paso 5: Características de la hipérbola

- **Centro**: El centro de la hipérbola es \( (3, 4) \).
- **Ejes principales**: La variable \( x \) tiene el término positivo, lo que indica que la hipérbola se abre horizontalmente.
- **Semiejes**:
  - El semieje mayor en la dirección \( x \) es \( \sqrt{6} \).
  - El semieje menor en la dirección \( y \) es \( \sqrt{5} \).
- **Focos**: La distancia de los focos al centro se calcula como \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \), donde \( a^2 = 6 \) y \( b^2 = 5 \), entonces:
  \[
  c = \sqrt{6 + 5} = \sqrt{11}
  \]
  Los focos están ubicados en \( (3 \pm \sqrt{11}, 4) \).
- **Asíntotas**: Las ecuaciones de las asíntotas son:
  \[
  y - 4 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}(x - 3)
  \]

---

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**Tip**: Para cualquier cónica, es importante completar cuadrados al reordenar la ecuación.

Hallar las características de la Hiperbola: 5x^2 - 6y^2 - 30x + 48y - 81 = 0

Aprende a encontrar las características de la hipérbola dada por 5x^2 - 6y^2 - 30x + 48y - 81 = 0. Este problema cubre conceptos clave de álgebra y secciones cónicas, incluyendo el método de completar el cuadrado y la forma canónica de la hipérbola. Apto para estudiantes de los grados 10-12.

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