si g es una función y g(u)=2u
como derivo esto?
\frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3}+xg\left(x-1\right)-2g\left(x-1\right)-1}{x-1}

Para derivar la expresión:

\[
\frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3} + xg(x-1) - 2g(x-1) - 1}{x-1}
\]

primero tenemos que aplicar la regla del cociente y luego desglosar cada uno de los términos. Además, dado que \(g(u) = 2u\), sustituiremos esta función en los lugares donde aparece \(g(x-1)\).

### Paso 1: Sustitución de \(g(x-1)\)
Sabemos que \(g(u) = 2u\), por lo que \(g(x-1) = 2(x-1)\). Sustituimos esto en la expresión original:

\[
\frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3} + x \cdot 2(x-1) - 2 \cdot 2(x-1) - 1}{x-1}
\]

Simplificamos los términos con \(g(x-1)\):

\[
= \frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3} + 2x(x-1) - 4(x-1) - 1}{x-1}
\]

### Paso 2: Simplificación de términos
Expandimos los términos que incluyen \(x(x-1)\) y \(4(x-1)\):

\[
= \frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3} + 2x^2 - 2x - 4x + 4 - 1}{x-1}
\]
\[
= \frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3} + 2x^2 - 6x + 3}{x-1}
\]

### Paso 3: Aplicación de la Regla del Cociente
Para derivar la expresión, usamos la regla del cociente:

\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
\]

donde:
- \(f(x) = \sqrt[3]{x^2+3x-3} + 2x^2 - 6x + 3\)
- \(g(x) = x-1\)

#### Derivada de \(f(x)\):

1. Derivada de \(\sqrt[3]{x^2 + 3x - 3}\):
   Usamos la regla de la cadena:
   \[
   \frac{d}{dx}\left( \sqrt[3]{x^2 + 3x - 3} \right) = \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 3x - 3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 3)
   \]

2. Derivada de \(2x^2 - 6x + 3\):
   \[
   \frac{d}{dx}(2x^2 - 6x + 3) = 4x - 6
   \]

Por lo tanto, la derivada de \(f(x)\) es:
\[
f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 3x - 3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 3) + 4x - 6
\]

#### Derivada de \(g(x)\):

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x-1) = 1
\]

### Paso 4: Derivada final
Aplicamos la regla del cociente:

\[
\frac{d}{dx}\left( \frac{f(x)}{x-1} \right) = \frac{\left( \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 3x - 3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 3) + 4x - 6 \right)(x-1) - \left( \sqrt[3]{x^2 + 3x - 3} + 2x^2 - 6x + 3 \right)}{(x-1)^2}
\]

### ¿Te gustaría que detallara más esta derivación o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones compuestas?
2. ¿Qué diferencias existen entre la regla del cociente y la del producto?
3. ¿Cómo simplificar expresiones algebraicas antes de derivar?
4. ¿Qué métodos existen para derivar funciones cúbicas o raíces cúbicas?
5. ¿Cómo interpretar derivadas con términos fraccionarios?

**Tip:** Al derivar funciones con raíces cúbicas, la regla de la cadena es clave para aplicar correctamente las derivadas

si g es una función y g(u)=2u como derivo esto? \frac{\sqrt[3]{x^2+3x-3}+xg\left(x-1\right)-2g\left(x-1\right)-1}{x-1}

Learn how to derive a complex function that includes a cubic root and applies the quotient rule and chain rule. This problem involves substituting a given function g(u) = 2u, followed by simplifying and differentiating using advanced calculus techniques.

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