deriva y=((sqrt(6 x^(3)+8))/((9 x^(2)+3)^(3)))

Para derivar la función \( y = \frac{\sqrt{6x^3 + 8}}{(9x^2 + 3)^3} \), usaremos las reglas de derivación como la regla del cociente, la regla de la cadena y la derivada de funciones compuestas.

Dado que la función está en forma de cociente, aplicamos la **regla del cociente**: 

\[
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\]

Aquí:
- \( f(x) = \sqrt{6x^3 + 8} \)
- \( g(x) = (9x^2 + 3)^3 \)

Ahora, derivamos ambas funciones.

1. **Derivada de \( f(x) = \sqrt{6x^3 + 8} \):**

\[
f(x) = (6x^3 + 8)^{1/2}
\]
Aplicamos la **regla de la cadena**:

\[
f'(x) = \frac{1}{2}(6x^3 + 8)^{-1/2} \cdot (18x^2)
\]
Simplificando:

\[
f'(x) = \frac{9x^2}{\sqrt{6x^3 + 8}}
\]

2. **Derivada de \( g(x) = (9x^2 + 3)^3 \):**

Aplicamos nuevamente la **regla de la cadena**:

\[
g(x) = (9x^2 + 3)^3
\]
\[
g'(x) = 3(9x^2 + 3)^2 \cdot 18x
\]
Simplificando:

\[
g'(x) = 54x(9x^2 + 3)^2
\]

3. **Aplicando la regla del cociente:**

\[
y' = \frac{\left( \frac{9x^2}{\sqrt{6x^3 + 8}} \right)(9x^2 + 3)^3 - \left( \sqrt{6x^3 + 8} \right) \cdot (54x(9x^2 + 3)^2)}{(9x^2 + 3)^6}
\]

Esta es la derivada completa de la función.

¿Te gustaría una explicación más detallada o resolver algún paso en particular? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas más complejas?
2. ¿Qué otras reglas de derivación puedo usar en funciones más complicadas?
3. ¿Cómo puedo simplificar la derivada final después de aplicar la regla del cociente?
4. ¿Qué estrategias existen para derivar funciones con raíces cuadradas?
5. ¿Cómo afecta la complejidad de la función al proceso de derivación?

### Tip:
Cuando derivamos funciones que son cocientes de expresiones complicadas, es útil descomponer cada parte cuidadosamente y simplificar paso a paso.

Learn how to find the derivative of the function y = sqrt(6x^3 + 8) / (9x^2 + 3)^3 using the quotient rule, chain rule, and simplification techniques. This problem involves complex derivatives and is suitable for advanced college-level mathematics.

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