racionaliza la siguiente expresion
(2 raiz de 2) sobre raiz de (5^3  * 7)  raiz cubida de 3

Vamos a racionalizar la expresión:

\[
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5^3 \cdot 7} \cdot \sqrt[3]{3}}
\]

### Paso 1: Simplificación de la raíz cuadrada
Primero, simplifiquemos la raíz cuadrada en el denominador:

\[
\sqrt{5^3 \cdot 7} = \sqrt{125 \cdot 7} = \sqrt{875}
\]

Esto nos deja con:

\[
\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{875} \cdot \sqrt[3]{3}}
\]

### Paso 2: Racionalización del denominador

Para racionalizar el denominador, multiplicamos numerador y denominador por la conjugada adecuada. En este caso, tenemos que eliminar tanto la raíz cuadrada como la raíz cúbica en el denominador. Multiplicamos por \(\sqrt{875}\) y \(\sqrt[3]{3^2}\) en el denominador para cancelar ambas raíces:

\[
\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{875} \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt{875} \cdot \sqrt{875} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}}
\]

### Paso 3: Simplificación de las raíces

Multiplicamos las raíces:

Numerador:

\[
2\sqrt{2} \cdot \sqrt{875} \cdot \sqrt[3]{3^2}
\]

Denominador:

\[
\sqrt{875 \cdot 875} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 3^2} = 875 \cdot \sqrt[3]{3^3} = 875 \cdot 3
\]

### Resultado final:

\[
\frac{2\sqrt{2 \cdot 875} \cdot \sqrt[3]{9}}{2625}
\]

El resultado racionalizado es:

\[
\frac{2\sqrt{1750} \cdot \sqrt[3]{9}}{2625}
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican raíces cúbicas y cuadradas en el mismo problema?
2. ¿Qué significa racionalizar una expresión?
3. ¿Cómo se manejan expresiones con radicales múltiples en el denominador?
4. ¿Cuáles son las propiedades de las raíces que se usan en la racionalización?
5. ¿Cómo se puede simplificar \(\sqrt{1750}\)?

### Tip:
Al racionalizar, es útil recordar las propiedades de los radicales para combinar y simplificar las raíces.

Aprende cómo racionalizar la expresión (2√2) / (√(5^3 * 7) ∛3) paso a paso. Este problema incluye la simplificación de raíces cuadradas y cúbicas en el denominador, adecuado para estudiantes avanzados de Grados 11-12.

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