Demonstre que se $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}[c+a}$, $3\dfrac{1}[a+b}$ é uma PA, então $a^2, b^2, c^2$ também é uma PA. 


Vamos demonstrar que se as expressões $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, e $\frac{1}{a+b}$ são termos de uma progressão aritmética (PA), então $a^2$, $b^2$ e $c^2$ também são termos de uma progressão aritmética.

### 1. Condição para Progressão Aritmética

Para três números $x$, $y$ e $z$ estarem em progressão aritmética, a condição é que:

\[
2y = x + z
\]

### 2. Aplicando à PA Inicial

No nosso caso, temos:

\[
x = \frac{1}{b+c}, \quad y = \frac{1}{c+a}, \quad z = \frac{1}{a+b}
\]

Então, a condição de progressão aritmética se traduz para:

\[
2\left(\frac{1}{c+a}\right) = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b}
\]

Multiplicando ambos os lados por $(b+c)(c+a)(a+b)$ para eliminar os denominadores, obtemos:

\[
2(b+c)(a+b) = (c+a)(a+b) + (c+a)(b+c)
\]

### 3. Simplificação da Equação

Expandindo ambos os lados:

- Lado esquerdo:
  \[
  2[(b+c)(a+b)] = 2(ab + ac + b^2 + bc)
  \]

- Lado direito:
  \[
  (c+a)(a+b) + (c+a)(b+c) = (ca + c^2 + ab + b^2) + (bc + c^2 + ab + ac)
  \]
  \[
  = 2ab + 2ac + 2bc + 2c^2 + b^2 + a^2
  \]

Igualando ambos os lados:

\[
2ab + 2ac + 2bc + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc + a^2 + b^2 + 2c^2
\]

Subtraindo os termos semelhantes de ambos os lados, temos:

\[
2b^2 = a^2 + b^2
\]

Ou seja:

\[
b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}
\]

### 4. Conclusão

A equação acima mostra que $a^2$, $b^2$ e $c^2$ satisfazem a condição para estarem em progressão aritmética, pois o termo do meio $b^2$ é a média aritmética dos termos $a^2$ e $c^2$. Portanto, $a^2$, $b^2$ e $c^2$ estão em PA, como queríamos demonstrar.

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4. Como essa demonstração seria afetada se tivéssemos uma progressão geométrica ao invés de aritmética?
5. Poderíamos fazer uma demonstração similar para sequências envolvendo raízes quadradas de $a$, $b$ e $c$?

**Dica:** Quando estiver resolvendo problemas de PA, lembre-se que a chave está na média aritmética dos termos. Isso pode simplificar significativamente as demonstrações.

Aprenda como demonstrar que se $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, e $\frac{1}{a+b}$ formam uma progressão aritmética (PA), então os quadrados $a^2$, $b^2$, e $c^2$ também estão em PA. Esta demonstração utiliza conceitos avançados de álgebra e equações simétricas. Adequado para nível graduado.

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