Determine o valor da soma dos quadrados dos $p$ primeiros números ímpares.

Para determinar o valor da soma dos quadrados dos $ p $ primeiros números ímpares, primeiro identificamos os primeiros $ p $ números ímpares. Eles são:

\[
1, 3, 5, 7, 9, \dots, (2p - 1)
\]

Agora, somamos os quadrados desses números ímpares:

\[
S = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2p - 1)^2
\]

A soma dos quadrados dos primeiros $ p $ números ímpares é dada pela seguinte fórmula:

\[
S = \frac{p(4p^2 - 1)}{3}
\]

Essa fórmula pode ser obtida por métodos de somas de séries específicas.

### Exemplo
Se $ p = 3 $, os três primeiros números ímpares são $ 1, 3, 5 $. Assim, a soma dos quadrados é:

\[
S = 1^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35
\]

Usando a fórmula para verificar:

\[
S = \frac{3(4(3)^2 - 1)}{3} = \frac{3(36 - 1)}{3} = \frac{3(35)}{3} = 35
\]

Portanto, a fórmula está correta.

---

Gostaria de mais detalhes sobre a dedução da fórmula? Aqui estão algumas perguntas para expandir o tópico:

1. Como se deduz a fórmula para a soma dos quadrados dos $ p $ primeiros números ímpares?
2. Qual seria a soma para $ p = 5 $?
3. Como se relaciona essa fórmula com a soma dos quadrados dos primeiros $ n $ números naturais?
4. Como podemos generalizar essa fórmula para qualquer sequência aritmética?
5. Como provar essa fórmula por indução?

**Dica**

Aprenda a calcular a soma dos quadrados dos p primeiros números ímpares com a fórmula S = p(4p^2 - 1)/3. O exemplo mostra a solução para p = 3, onde a soma dos quadrados é 35. Explore este problema que abrange conceitos de teoria dos números e sequências aritméticas.

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