
Integral Definida -
Area
́
1.
⋆
El gr ́afico de la funci ́on
y
=
f
(
x
)
que se muestra en la siguiente figura est ́a formado por cuartos de
circunferencias y segmentos de rectas. Encuentre el valor de
Z
12
0
f
(
x
)
dx.
−
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
−
1
−
2
−
3
−
4
1
2
3
y
=
f
(
x
)
2. Dado que
Z
b
a
f
(
x
)
dx
= 1
,
Z
b
a
g
(
x
)
dx
=
−
1
,
y
Z
b
a
h
(
x
)
dx
= 2
,
calcule el valor de las siguientes integrales,
en los casos que sea posible.
(
a
)
Z
b
a
(
f
(
x
) +
g
(
x
))
dx
¿Se puede asegurar que la funci ́on
s
(
x
) =
f
(
x
) +
g
(
x
) = 0
,
para todo
x
∈
[
a, b
]
?
(
b
)
Z
b
a
(
f
(
x
) + 2
g
(
x
) + 3
h
(
x
))
dx

Vamos a analizar ambas partes del problema de manera detallada:

### Parte 1: Área bajo la curva de \( f(x) \) en el intervalo [0,12]

Dado que el gráfico de la función \( f(x) \) está compuesto por cuartos de circunferencias y segmentos de rectas, podemos encontrar el área bajo la curva utilizando una combinación de geometría y cálculo.

El área bajo la curva se puede calcular sumando las áreas de los cuartos de circunferencias y los triángulos (si los hubiera). A partir de la figura (aunque no se proporciona aquí), la idea sería:
1. Identificar las secciones donde la función es parte de una circunferencia o línea recta.
2. Calcular el área geométrica de cada sección (cuarto de circunferencia, triángulos, etc.).
3. Sumar las áreas para obtener el valor de \( \int_0^{12} f(x) \, dx \).

Si tienes la gráfica, podríamos calcular estas áreas específicas.

### Parte 2: Cálculo de integrales específicas

#### (a) \( \int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) dx \)

Sabemos que:
- \( \int_a^b f(x) \, dx = 1 \)
- \( \int_a^b g(x) \, dx = -1 \)

Entonces:
\[
\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = 1 + (-1) = 0
\]

Por lo tanto, la integral de la función \( s(x) = f(x) + g(x) \) es igual a 0 en el intervalo \( [a, b] \). Sin embargo, esto **no asegura** que \( s(x) = 0 \) para todo \( x \in [a, b] \), ya que la integral de una función puede ser cero sin que la función en sí misma sea cero en todo el intervalo (podría tener valores positivos y negativos que se cancelen).

#### (b) \( \int_a^b \left( f(x) + 2g(x) + 3h(x) \right) dx \)

Sabemos que:
- \( \int_a^b f(x) \, dx = 1 \)
- \( \int_a^b g(x) \, dx = -1 \)
- \( \int_a^b h(x) \, dx = 2 \)

Entonces:
\[
\int_a^b \left( f(x) + 2g(x) + 3h(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx + 2 \int_a^b g(x) \, dx + 3 \int_a^b h(x) \, dx
\]
Sustituyendo los valores:
\[
1 + 2(-1) + 3(2) = 1 - 2 + 6 = 5
\]

Por lo tanto, el valor de la integral es 5.

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el área de un cuarto de circunferencia en términos de su radio?
2. ¿Qué condiciones se requieren para que la suma de dos funciones sea igual a cero en todo un intervalo?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una integral definida negativa?
4. ¿Cómo afecta la multiplicación de una función por un escalar en el resultado de una integral definida?
5. ¿Es posible que una función no nula tenga una integral igual a cero? Explica.

### Tip:
Siempre es útil recordar que la integral definida representa el área neta bajo la curva, por lo que áreas bajo el eje \( x \) (negativas) restan del total.

Integral Definida - Area
1. El gráfico de la función y = f(x) que se muestra en la siguiente figura está formado por cuartos de circunferencias y segmentos de rectas. Encuentre el valor de Z 12 0 f(x) dx.

2. Dado que Z b a f(x) dx = 1 , Z b a g(x) dx = -1 , y Z b a h(x) dx = 2 , calcule el valor de las siguientes integrales, en los casos que sea posible.
(a) Z b a (f(x) + g(x)) dx ¿Se puede asegurar que la función s(x) = f(x) + g(x) = 0 , para todo x ∈ [a, b]?
(b) Z b a (f(x) + 2 g(x) + 3 h(x)) dx

Explore how to calculate the definite integral of a function composed of quarter circles and line segments. Learn the step-by-step process of finding ∫_0^12 f(x) dx, along with solving integral problems involving function addition. Suitable for students in Grades 11-12.

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