Descomponer, de ser posible, al vector ⃗a = (−2,2) en las direcciones de los vectores ⃗ b = (4,2) y
 ⃗c = (1,−2).

Para descomponer el vector \(\vec{a} = (-2, 2)\) en las direcciones de los vectores \(\vec{b} = (4, 2)\) y \(\vec{c} = (1, -2)\), buscamos expresarlo como una combinación lineal de los vectores \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\). Es decir, necesitamos encontrar los escalares \(x\) y \(y\) tales que:

\[
\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}
\]

Sustituyendo los valores de \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\):

\[
(-2, 2) = x(4, 2) + y(1, -2)
\]

Esto se traduce en un sistema de ecuaciones lineales:

\[
-2 = 4x + y
\]
\[
2 = 2x - 2y
\]

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

1. **Primera ecuación:** \( y = -2 - 4x \).
   
2. **Sustituimos en la segunda ecuación:**

   \[
   2 = 2x - 2(-2 - 4x)
   \]

   Simplificamos:

   \[
   2 = 2x + 4 + 8x
   \]
   \[
   2 = 10x + 4
   \]
   \[
   10x = -2
   \]
   \[
   x = -\frac{1}{5}
   \]

3. **Sustituyendo \(x\) en la primera ecuación:**

   \[
   y = -2 - 4\left(-\frac{1}{5}\right)
   \]
   \[
   y = -2 + \frac{4}{5}
   \]
   \[
   y = -\frac{10}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{6}{5}
   \]

Entonces, el vector \(\vec{a}\) puede expresarse como:

\[
\vec{a} = -\frac{1}{5} \vec{b} - \frac{6}{5} \vec{c}
\]

Esto significa que \(\vec{a}\) se puede descomponer en las direcciones de \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) como una combinación lineal de estos vectores.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se podría graficar la descomposición del vector \(\vec{a}\) en función de \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\)?
2. ¿Cómo se determina si dos vectores son linealmente independientes?
3. ¿Qué significa que un vector se descomponga en otros vectores?
4. ¿Cómo afecta la longitud de un vector a su descomposición?
5. ¿Qué aplicaciones tiene la descomposición de vectores en física?

**Tip:** Cuando resuelvas sistemas de ecuaciones lineales, siempre es útil verificar tu solución sustituyéndola en las ecuaciones originales para asegurarte de que sean correctas.

Learn how to decompose vector a = (-2, 2) into the directions of vectors b = (4, 2) and c = (1, -2) using linear combinations. Understand the steps involved in finding scalars x and y to express vector a as a combination of vectors b and c. Suitable for advanced high school students studying vector algebra.

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