d) Résoudre l'équation suivante par rapport à x : x3 − 3x2 − 25x + 75 = 0

Pour résoudre l'équation \(x^3 - 3x^2 - 25x + 75 = 0\), nous pouvons commencer par chercher les racines réelles de l'équation.

### Étape 1 : Recherche des racines évidentes
Essayons de trouver une racine évidente en utilisant la méthode de substitution des valeurs simples comme \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = 2\), etc.

- Pour \(x = 3\) :
  \[
  3^3 - 3 \times 3^2 - 25 \times 3 + 75 = 27 - 27 - 75 + 75 = 0
  \]
  Donc, \(x = 3\) est une racine de l'équation.

### Étape 2 : Factorisation
Maintenant que nous savons que \(x = 3\) est une racine, nous pouvons factoriser le polynôme en utilisant cette racine.

Le polynôme se factorise en :
\[
x^3 - 3x^2 - 25x + 75 = (x - 3)(x^2 + ax + b)
\]
où \(x^2 + ax + b\) est un polynôme du second degré.

En effectuant la division polynomiale de \(x^3 - 3x^2 - 25x + 75\) par \(x - 3\), on obtient :
\[
x^2 + 0x - 25 = x^2 - 25
\]

Ainsi, l'équation devient :
\[
(x - 3)(x^2 - 25) = 0
\]

### Étape 3 : Résolution des facteurs
Il reste à résoudre les équations suivantes :
1. \(x - 3 = 0\)  ⟹ \(x = 3\)
2. \(x^2 - 25 = 0\)  ⟹ \(x^2 = 25\) ⟹ \(x = \pm 5\)

### Conclusion
Les solutions de l'équation sont donc :
\[
x = 3, \quad x = 5, \quad x = -5
\]

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions?  

Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir votre compréhension :  
1. Comment factoriser un polynôme de degré supérieur à 2 sans connaître les racines évidentes?
2. Quelle est l'importance des racines réelles dans la résolution d'équations cubiques?
3. Comment utiliser la division polynomiale pour factoriser un polynôme?
4. Quels sont les autres méthodes pour résoudre une équation du troisième degré?
5. Comment les racines d'une équation cubique affectent-elles le graphe de la fonction?

**Conseil :** Vérifiez toujours vos solutions en substituant les valeurs trouvées dans l'équation initiale pour confirmer qu'elles satisfont l'équation.

Résoudre l'équation suivante par rapport à x : x^3 − 3x^2 − 25x + 75 = 0

Learn how to solve the cubic equation x^3 - 3x^2 - 25x + 75 = 0 with a detailed, step-by-step solution. This problem covers key algebraic concepts like cubic equations, polynomial factorization, and the application of the Rational Root Theorem. Ideal for students in Grades 10-12.

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