vinte e quatro objetos estão distribuidos em três caixas distintas, a primeira contém 10 itens de cor vermelha, a segunda, 8 de cor azul, a terceira, 6 itens de cor verde. quantas são as maneiras distintas de escolher dois desses itens garantindo que eles permaneçam em caixas diferentes

Para resolver o problema de contar quantas são as maneiras distintas de escolher dois itens entre os 24, garantindo que eles estejam em caixas diferentes, podemos seguir os passos abaixo:

### Passo 1: Identificar as possibilidades de escolha
Há três caixas distintas com diferentes números de itens:
- Caixa 1: 10 itens de cor vermelha
- Caixa 2: 8 itens de cor azul
- Caixa 3: 6 itens de cor verde

### Passo 2: Contar as combinações possíveis entre as caixas
Precisamos garantir que os dois itens escolhidos estejam em caixas diferentes. Isso significa que devemos considerar as combinações possíveis de pares de caixas.

**Casos possíveis:**
1. Escolher um item da Caixa 1 e um item da Caixa 2.
2. Escolher um item da Caixa 1 e um item da Caixa 3.
3. Escolher um item da Caixa 2 e um item da Caixa 3.

### Passo 3: Calcular as combinações para cada caso

1. **Caixa 1 e Caixa 2:**
   - Existem 10 maneiras de escolher 1 item da Caixa 1.
   - Existem 8 maneiras de escolher 1 item da Caixa 2.
   - Total de combinações = \(10 \times 8 = 80\)

2. **Caixa 1 e Caixa 3:**
   - Existem 10 maneiras de escolher 1 item da Caixa 1.
   - Existem 6 maneiras de escolher 1 item da Caixa 3.
   - Total de combinações = \(10 \times 6 = 60\)

3. **Caixa 2 e Caixa 3:**
   - Existem 8 maneiras de escolher 1 item da Caixa 2.
   - Existem 6 maneiras de escolher 1 item da Caixa 3.
   - Total de combinações = \(8 \times 6 = 48\)

### Passo 4: Somar todas as combinações
Finalmente, somamos todas as possibilidades encontradas:
\[
80 + 60 + 48 = 188
\]

Portanto, existem **188 maneiras distintas de escolher dois itens, garantindo que eles estejam em caixas diferentes**.

Tem alguma pergunta ou gostaria de mais detalhes?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como seria o cálculo se houvesse mais uma caixa com 5 itens?
2. E se fosse necessário escolher três itens, cada um de uma caixa diferente?
3. Como o número de maneiras mudaria se as caixas tivessem um número igual de itens?
4. Quantas combinações seriam possíveis se os itens das caixas pudessem ser da mesma cor?
5. Como o cálculo mudaria se fosse possível escolher mais de dois itens?

### Dica:
Sempre que trabalhar com problemas de combinação que envolvem restrições (como itens em diferentes caixas), é útil separar os casos e somar as possibilidades individuais, garantindo que todas as condições sejam atendidas.

Explore how to count distinct ways to choose two items from 24, ensuring they are in different boxes. This math problem involves combinatorics and counting principles applied to item selection across different boxes.

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