16) a) ¿Cuántos números de 6 cifras puedes escribir con los dígitos 1, 2 y 3?
b) ¿Cuántos de ellos contienen todos los digitos 1, 2 y 3 al menos una vez?

Vamos a descomponer el problema en dos partes: 

### a) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden escribir con los dígitos 1, 2 y 3?

Cada dígito del número puede ser uno de los tres posibles dígitos: 1, 2 o 3. Dado que el número tiene 6 cifras, cada una de esas cifras puede ser cualquiera de los tres dígitos.

Por lo tanto, el número total de combinaciones posibles es:

\[
3^6 = 729
\]

Así que **729 números** de 6 cifras se pueden formar usando únicamente los dígitos 1, 2 y 3.

### b) ¿Cuántos de esos números contienen todos los dígitos 1, 2 y 3 al menos una vez?

Para calcular cuántos de estos números contienen al menos una vez cada uno de los dígitos 1, 2 y 3, usaremos el principio de inclusión y exclusión:

1. **Total de números**: Sabemos que hay 729 números posibles (como calculamos en la parte a).

2. **Números que no contienen el dígito 1**: Si solo usamos los dígitos 2 y 3, el número de combinaciones posibles es \(2^6 = 64\).

3. **Números que no contienen el dígito 2**: Similarmente, si solo usamos los dígitos 1 y 3, hay \(2^6 = 64\) combinaciones posibles.

4. **Números que no contienen el dígito 3**: Si solo usamos los dígitos 1 y 2, también hay \(2^6 = 64\) combinaciones.

5. **Números que no contienen los dígitos 1 y 2 (solo contienen el dígito 3)**: Solo hay \(1^6 = 1\) combinación (333333).

6. **Números que no contienen los dígitos 1 y 3 (solo contienen el dígito 2)**: También hay \(1^6 = 1\) combinación (222222).

7. **Números que no contienen los dígitos 2 y 3 (solo contienen el dígito 1)**: Similarmente, hay \(1^6 = 1\) combinación (111111).

Ahora aplicamos el principio de inclusión y exclusión para contar los números que contienen al menos un 1, un 2 y un 3:

\[
\text{Números que contienen todos los dígitos} = 729 - (64 + 64 + 64) + (1 + 1 + 1) = 729 - 192 + 3 = 540
\]

Así que **540 números** contienen los dígitos 1, 2 y 3 al menos una vez.

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre estos cálculos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3?
2. ¿Qué ocurre si añadimos un cuarto dígito, como el 4, al conjunto de dígitos posibles?
3. ¿Cómo cambiaría el resultado si los números pueden tener menos de 6 cifras?
4. ¿Cómo calcularías los números de 6 cifras que contienen exactamente dos de los dígitos 1, 2 y 3?
5. ¿Cuántos números de 6 cifras tienen exactamente una vez cada dígito 1, 2 y 3?

### Tip:
El principio de inclusión y exclusión es muy útil para contar elementos en combinaciones donde ciertas restricciones excluyen subconjuntos.

¿Cuántos números de 6 cifras puedes escribir con los dígitos 1, 2 y 3? ¿Cuántos de ellos contienen todos los dígitos 1, 2 y 3 al menos una vez?

Explore how to count the total number of 6-digit numbers using the digits 1, 2, and 3, and how many of them contain each digit at least once. Learn to apply combinatorics and the inclusion-exclusion principle with detailed calculations. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation