Pak Ali ingin memagari kebun seluas 60.000 m2 berbentuk persegi panjang di sisi jalan
raya. Pagar yang ia rencanakan untuk digunakan di batas jalan raya berharga 10000
per meter, sedangkan pagar untuk tiga sisi lainnya berharga 5000 per meter. Tentukan
biaya terkecil yang harus dikeluarkan oleh pak Ali.

Untuk menentukan biaya terkecil yang harus dikeluarkan oleh Pak Ali, kita bisa memulai dengan mendefinisikan variabel-variabel yang terlibat dalam masalah ini.

### Langkah 1: Definisi variabel
- Misalkan panjang kebun adalah \( p \) meter dan lebarnya adalah \( l \) meter.
- Luas kebun berbentuk persegi panjang adalah \( p \times l = 60,000 \) m².

Jadi, kita bisa mengekspresikan panjang atau lebar dalam bentuk yang lain:
\[
p \times l = 60,000 \implies p = \frac{60,000}{l}
\]

### Langkah 2: Tentukan biaya pagar
Pak Ali memagari sisi jalan raya dengan pagar seharga 10.000 per meter dan tiga sisi lainnya dengan pagar seharga 5.000 per meter.

- Pagar di sisi jalan raya (panjang \( p \)) berharga 10.000 per meter, sehingga biaya untuk sisi ini adalah \( 10,000 \times p \).
- Pagar untuk tiga sisi lainnya (dua sisi lebar \( l \) dan satu sisi panjang \( p \)) berharga 5.000 per meter. Jadi, biayanya adalah \( 5,000 \times (2l + p) \).

Total biaya yang harus dikeluarkan:
\[
\text{Biaya total} = 10,000 \times p + 5,000 \times (2l + p)
\]
\[
\text{Biaya total} = 10,000p + 5,000(2l + p) = 10,000p + 10,000l + 5,000p = 15,000p + 10,000l
\]

### Langkah 3: Substitusi panjang \( p \)
Substitusikan \( p = \frac{60,000}{l} \) ke dalam persamaan biaya:
\[
\text{Biaya total} = 15,000 \times \frac{60,000}{l} + 10,000l
\]
\[
\text{Biaya total} = \frac{900,000,000}{l} + 10,000l
\]

### Langkah 4: Optimasi biaya
Untuk meminimalkan biaya, kita dapat menggunakan turunan. Misalkan fungsi biaya adalah \( C(l) \):
\[
C(l) = \frac{900,000,000}{l} + 10,000l
\]
Turunan pertama dari \( C(l) \) untuk mencari nilai minimum:
\[
\frac{dC}{dl} = -\frac{900,000,000}{l^2} + 10,000
\]
Setel turunan sama dengan nol untuk mencari titik minimum:
\[
-\frac{900,000,000}{l^2} + 10,000 = 0
\]
\[
\frac{900,000,000}{l^2} = 10,000
\]
\[
l^2 = \frac{900,000,000}{10,000} = 90,000
\]
\[
l = \sqrt{90,000} = 300
\]

### Langkah 5: Hitung nilai \( p \)
Dengan \( l = 300 \), kita substitusikan ke dalam persamaan \( p = \frac{60,000}{l} \):
\[
p = \frac{60,000}{300} = 200
\]

### Langkah 6: Hitung biaya terkecil
Substitusikan \( p = 200 \) dan \( l = 300 \) ke dalam persamaan biaya total:
\[
\text{Biaya total} = 15,000 \times 200 + 10,000 \times 300 = 3,000,000 + 3,000,000 = 6,000,000
\]

### Jawaban:
Biaya terkecil yang harus dikeluarkan oleh Pak Ali adalah **Rp 6.000.000**.

Ada yang ingin ditanyakan atau penjelasan lebih lanjut?

Berikut 5 soal terkait:
1. Bagaimana cara menentukan biaya jika bentuk kebun adalah segitiga?
2. Bagaimana jika harga pagar di semua sisi sama?
3. Berapa luas maksimum kebun yang bisa dipagari dengan biaya tetap?
4. Bagaimana perubahan biaya jika panjang kebun dua kali lipat dari lebarnya?
5. Apa yang terjadi jika harga pagar untuk sisi jalan raya naik 50%?

**Tip:** Untuk masalah optimasi, menggunakan turunan adalah cara efektif untuk menemukan nilai minimum atau maksimum biaya.

Pak Ali ingin memagari kebun seluas 60.000 m2 berbentuk persegi panjang di sisi jalan raya. Pagar yang ia rencanakan untuk digunakan di batas jalan raya berharga 10000 per meter, sedangkan pagar untuk tiga sisi lainnya berharga 5000 per meter. Tentukan biaya terkecil yang harus dikeluarkan oleh Pak Ali.

Discover how to optimize the cost of fencing a rectangular garden with one side along the road. This problem involves geometry and calculus, with a focus on using derivatives to minimize cost. Learn step-by-step how to find the minimum cost of fencing, suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation