Determine si el conjunto de las matrices cuadradas simétricas (𝐴=𝐴𝑡) es un ℝ espacio vectorial. Quiero saber como puedo resolverlo directamente sin tener que recurrir a los 10 axiomas

Para determinar si el conjunto de matrices cuadradas simétricas es un espacio vectorial sin tener que verificar directamente los 10 axiomas, podemos usar un enfoque más práctico. Este enfoque se basa en la observación de las propiedades fundamentales que caracterizan a los espacios vectoriales.

1. **Verificar si hay un elemento neutro (cero) en el conjunto**: 
   - El **elemento neutro** o **cero** en un espacio vectorial es el que, sumado a cualquier elemento, deja el elemento sin cambios.
   - La matriz identidad de cero, \( \mathbf{0} \), es simétrica ya que \( \mathbf{0} = \mathbf{0}^t \).
   - Por lo tanto, **la matriz cero está en el conjunto**, cumpliendo la primera condición.

2. **Comprobar que la suma de matrices simétricas sigue siendo simétrica**:
   - Sean \( A \) y \( B \) dos matrices simétricas, es decir, \( A = A^t \) y \( B = B^t \).
   - Ahora, veamos si la suma de matrices simétricas sigue siendo simétrica:
     \[
     (A + B)^t = A^t + B^t = A + B
     \]
   - Como la suma también es una matriz simétrica, **el conjunto es cerrado bajo la operación de suma**.

3. **Verificar la cerradura bajo multiplicación escalar**:
   - Tomemos una matriz simétrica \( A \) tal que \( A = A^t \), y sea \( c \) un escalar en \( \mathbb{R} \).
   - Comprobemos si el producto de \( A \) por el escalar \( c \) sigue siendo simétrico:
     \[
     (cA)^t = cA^t = cA
     \]
   - Como la multiplicación escalar también mantiene la simetría, **el conjunto es cerrado bajo multiplicación escalar**.

Dado que el conjunto de matrices cuadradas simétricas contiene el elemento neutro (la matriz cero), es cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación por un escalar, podemos concluir que **el conjunto de matrices cuadradas simétricas forma un espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \)** sin necesidad de revisar todos los axiomas.

¿Te gustaría que te explique algún paso en más detalle o tienes preguntas adicionales?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se definirían las submatrices de una matriz simétrica?
2. ¿Qué dimensiones tendría el espacio vectorial de matrices simétricas \( n \times n \)?
3. ¿Cómo podemos describir una base para el espacio vectorial de matrices simétricas?
4. ¿Qué otras propiedades algebraicas tienen las matrices simétricas en un espacio vectorial?
5. ¿Cuáles son las diferencias entre matrices simétricas y matrices antisimétricas en el contexto de espacios vectoriales?

### Tip:
Una base del espacio de matrices simétricas \( n \times n \) puede construirse utilizando matrices con solo unos pocos elementos no nulos, aprovechando la simetría.

Determine si el conjunto de las matrices cuadradas simétricas (𝐴=𝐴𝑡) es un ℝ espacio vectorial. Quiero saber como puedo resolverlo directamente sin tener que recurrir a los 10 axiomas.

Descubre cómo determinar si el conjunto de matrices cuadradas simétricas (𝐴=𝐴𝑡) es un espacio vectorial sobre ℝ sin verificar los 10 axiomas. Explora la cerradura bajo suma y multiplicación escalar, y la existencia del elemento neutro (matriz cero).

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