Sea	la	matriz
� =
1 2 3 −1
2 3 2 0
3
1
4
1
1
−1
1
1
Hallar el	espacio	nulo	de	�.	Los	vectores	que	generan	este	espacio	con	linealmente	independientes?.	
JUSTIFIQUE	SU	RESPUEST

Para hallar el espacio nulo de la matriz \( A \), necesitamos encontrar todos los vectores \( \mathbf{x} \) tales que \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \). Esto significa resolver el sistema de ecuaciones homogéneo \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \).

La matriz \( A \) es:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -1 \\
2 & 3 & 2 & 0 \\
3 & 1 & 4 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

Primero, formamos la matriz aumentada \( [A | \mathbf{0}] \):

\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 3 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 4 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]

A continuación, realizamos operaciones elementales para llevar la matriz a su forma escalonada reducida por filas (forma escalonada reducida):

1. Resta 2 veces la fila 1 de la fila 2: \( F2 \rightarrow F2 - 2F1 \)
2. Resta 3 veces la fila 1 de la fila 3: \( F3 \rightarrow F3 - 3F1 \)
3. Resta la fila 1 de la fila 4: \( F4 \rightarrow F4 - F1 \)
4. Continúa simplificando las filas para obtener ceros en las posiciones adecuadas.

Luego de realizar estas operaciones, la matriz en su forma escalonada reducida es:

\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 3 & -1 & 0 \\
0 & -1 & -4 & 2 & 0 \\
0 & -5 & -5 & 4 & 0 \\
0 & -3 & -2 & 2 & 0
\end{array}\right)
\]

Simplificando más:

2. Multiplica la fila 2 por -1.
3. Resta 5 veces la fila 2 de la fila 3.
4. Resta 3 veces la fila 2 de la fila 4.
5. Continúa hasta obtener la forma escalonada reducida final.

Finalmente, tenemos la siguiente forma escalonada reducida (simplificada):

\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -11 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

De aquí, podemos extraer el sistema de ecuaciones homogéneo asociado:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad x_1 + 2x_2 + 3x_3 - x_4 = 0, \\
2. & \quad x_2 + 4x_3 - 2x_4 = 0, \\
3. & \quad -11x_3 + 6x_4 = 0.
\end{aligned}
\]

Resolvemos este sistema:

- De la tercera ecuación: \( x_3 = \frac{6}{11} x_4 \)
- Sustituyendo en la segunda ecuación: \( x_2 + 4 \left(\frac{6}{11}x_4\right) - 2x_4 = 0 \), simplificando: \( x_2 = \frac{-14}{11}x_4 \)
- Sustituyendo en la primera ecuación: \( x_1 + 2\left(\frac{-14}{11}x_4\right) + 3\left(\frac{6}{11}x_4\right) - x_4 = 0 \), simplificando: \( x_1 = \frac{-4}{11}x_4 \)

Por lo tanto, el vector solución es:

\[
\mathbf{x} = x_4 \begin{pmatrix}
-\frac{4}{11} \\
-\frac{14}{11} \\
\frac{6}{11} \\
1
\end{pmatrix}
\]

El espacio nulo está generado por el vector:

\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
-\frac{4}{11} \\
-\frac{14}{11} \\
\frac{6}{11} \\
1
\end{pmatrix}
\]

### Justificación de la independencia lineal:
Como solo existe un vector generador del espacio nulo, este vector es, por definición, linealmente independiente. Si hubiera más vectores generadores, se requeriría analizar si son o no linealmente independientes.

**Conclusión**: El espacio nulo de la matriz \( A \) está generado por un único vector, lo que implica que dicho vector es linealmente independiente.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina la dimensión del espacio nulo?
2. ¿Cómo se interpreta el rango de una matriz en relación con su espacio nulo?
3. ¿Qué significa si el espacio nulo tiene más de un vector generador?
4. ¿Cómo se relacionan el espacio nulo y las soluciones homogéneas en sistemas lineales?
5. ¿Qué sucede si la matriz es cuadrada y el espacio nulo tiene más de un vector?

**Tip**: Recuerda que la dimensión del espacio nulo es igual al número de variables libres en el sistema.

Aprende cómo encontrar el espacio nulo de una matriz A paso a paso con este problema resuelto. Incluye la matriz A, el sistema de ecuaciones homogéneo asociado y la justificación de la independencia lineal. Apto para estudiantes universitarios.

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