Determine si el conjunto de las matrices cuadradas simétricas (𝐴=𝐴𝑡) es un ℝ espacio vectorial

Para determinar si el conjunto de matrices cuadradas simétricas sobre \(\mathbb{R}\) (es decir, matrices \(A\) tales que \(A = A^T\)) forma un espacio vectorial, debemos verificar que este conjunto satisface los axiomas de un espacio vectorial. 

Denotemos el conjunto de matrices simétricas de tamaño \(n \times n\) como \(S_n\). Vamos a analizar cada uno de los axiomas requeridos para que \(S_n\) sea un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\).

### Verificación de los axiomas de un espacio vectorial

1. **Cerradura bajo la suma:**
   Sean \(A\) y \(B\) dos matrices en \(S_n\), es decir, \(A = A^T\) y \(B = B^T\). Queremos verificar si la suma \(A + B\) también es simétrica.
   \[
   (A + B)^T = A^T + B^T = A + B.
   \]
   Dado que \(A\) y \(B\) son simétricas, su suma también lo es. Por lo tanto, \(S_n\) está cerrado bajo la operación de suma.

2. **Cerradura bajo la multiplicación escalar:**
   Sea \(A \in S_n\) y \(\lambda \in \mathbb{R}\). Queremos verificar si \(\lambda A\) es simétrica.
   \[
   (\lambda A)^T = \lambda A^T = \lambda A.
   \]
   Dado que \(A\) es simétrica, \(\lambda A\) también es simétrica. Por lo tanto, \(S_n\) está cerrado bajo la multiplicación por un escalar en \(\mathbb{R}\).

3. **Existencia del elemento neutro aditivo:**
   La matriz cero \(0\) es una matriz \(n \times n\) tal que \(0 = 0^T\), y es evidentemente simétrica. Así, \(0 \in S_n\).

4. **Existencia de inverso aditivo:**
   Sea \(A \in S_n\). El inverso aditivo de \(A\) es \(-A\). Verificamos si \(-A\) es simétrica:
   \[
   (-A)^T = -A^T = -A.
   \]
   Dado que \(A\) es simétrica, \(-A\) también es simétrica. Por lo tanto, cada elemento tiene un inverso aditivo en \(S_n\).

5. **Asociatividad de la suma:**
   La suma de matrices es asociativa en el conjunto de todas las matrices \(n \times n\), y por lo tanto también lo será en \(S_n\).

6. **Conmutatividad de la suma:**
   La suma de matrices es conmutativa en el conjunto de todas las matrices \(n \times n\), y por lo tanto también lo será en \(S_n\).

7. **Existencia de elemento neutro multiplicativo (escalar):**
   Para cualquier matriz \(A \in S_n\) y cualquier escalar \(\lambda \in \mathbb{R}\):
   \[
   1 \cdot A = A.
   \]
   Aquí, \(1\) es el elemento neutro multiplicativo para los escalares.

8. **Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de matrices:**
   Para \(A, B \in S_n\) y \(\lambda \in \mathbb{R}\):
   \[
   \lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B.
   \]
   Esto es cierto porque es una propiedad general de la multiplicación de matrices.

9. **Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de escalares:**
   Para cualquier matriz \(A \in S_n\) y escalares \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\):
   \[
   (\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A.
   \]
   Esta propiedad también es válida en general para matrices.

10. **Compatibilidad de la multiplicación escalar:**
    Para cualquier \(A \in S_n\) y escalares \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\):
    \[
    (\lambda \mu) A = \lambda (\mu A).
    \]
    Esta es también una propiedad general de la multiplicación escalar con matrices.

### Conclusión

Dado que el conjunto de matrices cuadradas simétricas satisface todos los axiomas de un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), podemos concluir que **el conjunto de matrices simétricas \(n \times n\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\).**

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se puede demostrar que el conjunto de matrices diagonales también forma un espacio vectorial?
2. ¿Cómo encontrar una base para el espacio vectorial de matrices simétricas?
3. ¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices simétricas \(n \times n\)?
4. ¿Qué sucede si consideramos matrices simétricas sobre un cuerpo diferente de \(\mathbb{R}\)?
5. ¿Cómo se relaciona este espacio vectorial con el conjunto de matrices anti-simétricas?

**Tip:** Recuerda que las matrices simétricas tienen propiedades especiales, como que todos sus autovalores son reales.

Explora si el conjunto de matrices cuadradas simétricas de tamaño n×n sobre ℝ forma un espacio vectorial. Analiza cada axioma del espacio vectorial, incluyendo la cerradura bajo suma y multiplicación escalar, y la existencia de inversos aditivos. Adecuado para estudiantes universitarios.

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