(1	Punto)	Sea	� = �!×! ∗ el	conjunto	de las	matrices	de	tamaño	3×3 donde	�!" = −�!",	con	la	suma	y	
producto	por	escalar	definidas	por:
� ⊕ � = [−�!" − �!"]
�⨀� = [��!"]
para	1 ≤ � ≤ 3, 1 ≤ � ≤ 3.		¿Es �!×! ∗ , ⨁, ⨀ es	un	espacio	vectorial	real?.		Justifique	su	respuesta

Para determinar si \( A_{3 \times 3}^* \), junto con las operaciones \( \oplus \) (suma) y \( \odot \) (producto por un escalar) es un espacio vectorial real, necesitamos verificar que cumple con los axiomas de un espacio vectorial. 

### Conjunto \( A_{3 \times 3}^* \):
Se nos da que el conjunto \( A_{3 \times 3}^* \) consiste en matrices de tamaño \( 3 \times 3 \) donde \( a_{ij} = -a_{ji} \). Esto implica que las matrices son anti-simétricas, es decir, que \( A^T = -A \). En otras palabras, si \( A \in A_{3 \times 3}^* \), entonces para cualquier \( i \) y \( j \), se cumple que \( a_{ij} = -a_{ji} \).

### Operaciones definidas:
Las operaciones definidas en el conjunto son:

- **Suma** \( \oplus \): Definida como \( A \oplus B = [-a_{ij} - b_{ij}] \).
- **Producto por escalar** \( \odot \): Definido como \( \alpha \odot A = [\alpha a_{ij}] \), para cualquier escalar real \( \alpha \).

### Verificación de los axiomas de espacio vectorial:
Debemos comprobar que se cumplen los siguientes axiomas de un espacio vectorial:

1. **Cerradura bajo la suma**: Si \( A \) y \( B \) están en \( A_{3 \times 3}^* \), entonces \( A \oplus B \) debe pertenecer a \( A_{3 \times 3}^* \).

   - Si \( A \in A_{3 \times 3}^* \), entonces \( a_{ij} = -a_{ji} \), y lo mismo para \( B \). Bajo la suma \( \oplus \), obtenemos \( (A \oplus B)_{ij} = -a_{ij} - b_{ij} \), lo que también implica que la matriz sigue siendo anti-simétrica porque \( (A \oplus B)_{ij} = -(A \oplus B)_{ji} \). Entonces, la cerradura bajo la suma se cumple.

2. **Cerradura bajo el producto por escalar**: Si \( A \in A_{3 \times 3}^* \) y \( \alpha \) es un escalar real, entonces \( \alpha \odot A \) debe pertenecer a \( A_{3 \times 3}^* \).

   - Si \( A \in A_{3 \times 3}^* \), entonces \( a_{ij} = -a_{ji} \). Al multiplicar por un escalar \( \alpha \), tenemos \( (\alpha \odot A)_{ij} = \alpha a_{ij} \) y \( (\alpha \odot A)_{ji} = \alpha a_{ji} \). Como \( a_{ji} = -a_{ij} \), entonces \( (\alpha \odot A)_{ij} = -(\alpha \odot A)_{ji} \), por lo que la matriz resultante sigue siendo anti-simétrica. Esto garantiza la cerradura bajo el producto por escalar.

3. **Propiedades asociativas y conmutativas de la suma**: La suma debe ser asociativa y conmutativa. Como la operación de suma definida aquí es solo la suma de las entradas de las matrices anti-simétricas, las propiedades asociativas y conmutativas de la suma de matrices estándar se aplican también aquí.

4. **Existencia del elemento neutro aditivo**: Debe existir una matriz cero tal que, al sumarla con cualquier matriz \( A \in A_{3 \times 3}^* \), se obtenga \( A \). La matriz cero es la matriz anti-simétrica donde todos los elementos son cero, y claramente cumple con esta propiedad.

5. **Existencia de inverso aditivo**: Para cada matriz \( A \in A_{3 \times 3}^* \), debe existir una matriz \( -A \) tal que \( A \oplus (-A) = 0 \). Dado que \( A \oplus (-A) \) implica la suma de los opuestos de cada entrada, se cumple que \( A \oplus (-A) = 0 \).

6. **Distributividad**: Tanto la distributividad del producto por escalar sobre la suma de matrices como la distributividad del producto por escalar sobre la suma de escalares debe cumplirse. Estas propiedades también se heredan de las operaciones matriciales estándar.

### Conclusión:
El conjunto \( A_{3 \times 3}^* \), junto con las operaciones \( \oplus \) y \( \odot \), satisface todos los axiomas de un espacio vectorial. Por lo tanto, **sí, \( A_{3 \times 3}^*, \oplus, \odot \) es un espacio vectorial real**.

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¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que pueden interesarte:

1. ¿Cómo se verifica la cerradura de otros subconjuntos en espacios vectoriales?
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3. ¿Qué propiedades deben cumplirse para que un conjunto sea un subespacio vectorial?
4. ¿Cómo se extienden estos conceptos a dimensiones superiores o inferiores?
5. ¿Cómo se relacionan los espacios vectoriales con otros conceptos en álgebra lineal?

**Tip:** La simetría y anti-simetría de matrices pueden simplificar muchas pruebas en álgebra lineal, aprovechando las propiedades de sus elementos reflejados.

Explore whether the set of 3x3 anti-symmetric matrices, with defined operations of addition and scalar multiplication, forms a real vector space. Understand the properties and closure under operations in this mathematical analysis.

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