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Determine la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica.

Donde: C es el centro, V1 y V2 son los vértices, F1 y F2 son los focos.

Para determinar la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica, necesitamos identificar varios elementos clave: el centro \( C \), los vértices \( V_1 \) y \( V_2 \), y los focos \( F_1 \) y \( F_2 \). A partir de estos elementos podemos obtener la ecuación estándar de la hipérbola, que tiene la forma:

\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(si la hipérbola es horizontal)}
\]
o
\[
\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(si la hipérbola es vertical)}
\]

Donde:
- \( (h, k) \) son las coordenadas del centro \( C \),
- \( a \) es la distancia del centro a cada vértice (la distancia entre \( C \) y \( V_1 \) o \( V_2 \)),
- \( c \) es la distancia del centro a cada foco (la distancia entre \( C \) y \( F_1 \) o \( F_2 \)), y
- \( b \) está relacionado con \( a \) y \( c \) mediante la relación \( c^2 = a^2 + b^2 \).

### Identificación de los elementos a partir de la gráfica:
1. **Centro** \( C \): Según la gráfica, el centro está en \( (0, 0) \).
2. **Vértices** \( V_1 \) y \( V_2 \): Los vértices están ubicados en \( (0, -3) \) y \( (0, 3) \), lo que indica que la distancia \( a = 3 \).
3. **Focos** \( F_1 \) y \( F_2 \): Los focos están ubicados en \( (0, -4) \) y \( (0, 4) \), por lo que la distancia \( c = 4 \).

### Determinación de \( b^2 \):
Sabemos que \( c^2 = a^2 + b^2 \). Por lo tanto:

\[
4^2 = 3^2 + b^2
\]
\[
16 = 9 + b^2
\]
\[
b^2 = 7
\]

### Ecuación final:
Dado que los vértices y focos están a lo largo del eje \( y \), la hipérbola es vertical. Usamos la forma:

\[
\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1
\]

Sustituyendo los valores de \( h = 0 \), \( k = 0 \), \( a = 3 \) y \( b^2 = 7 \), obtenemos:

\[
\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1
\]

Esta es la ecuación de la hipérbola representada en la gráfica.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué pasa si intercambiamos los ejes en la ecuación de una hipérbola?
2. ¿Cómo se determina el excentricidad de una hipérbola?
3. ¿Cómo se determina la ecuación de las asíntotas de una hipérbola?
4. ¿Cómo afecta el cambio del centro de una hipérbola en su ecuación?
5. ¿Cómo se derivan las ecuaciones estándar de una hipérbola a partir de su definición geométrica?

### Consejo:
Para resolver ecuaciones de hipérbolas es esencial recordar la relación entre las distancias \( a \), \( b \), y \( c \), ya que define su forma y orientación.

Determine la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica.
Donde: C es el centro, V1 y V2 son los vértices, F1 y F2 son los focos.

Determina la ecuación de una hipérbola basada en su gráfica identificando el centro, vértices y focos. Aprende cómo calcular la ecuación estándar de una hipérbola, utilizando las distancias clave entre los elementos geométricos. Este problema es adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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