Cálculo de areas exactas con sumas de Riemann: 1. f(x)= -x²/4 + 3. intervalo de -3 a 2

Para calcular el área exacta bajo la curva de la función \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \) en el intervalo \([-3, 2]\) usando sumas de Riemann, seguimos estos pasos:

### 1. Definir el problema

La función dada es \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \), y queremos encontrar el área entre esta curva y el eje \(x\) en el intervalo \([-3, 2]\). Podemos usar el concepto de suma de Riemann para aproximar el área y después calcularla de manera exacta mediante la integral definida.

### 2. Encontrar la integral definida

La manera exacta de calcular el área bajo una curva es utilizando la integral definida. Entonces, integramos la función \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \) en el intervalo \([-3, 2]\):

\[
\int_{-3}^{2} \left( -\frac{x^2}{4} + 3 \right) \, dx
\]

### 3. Calcular la integral

Calculamos la integral de cada término:

\[
\int \left( -\frac{x^2}{4} \right) \, dx = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{12}
\]
\[
\int 3 \, dx = 3x
\]

Así, la integral de \( f(x) \) es:

\[
\int f(x) \, dx = -\frac{x^3}{12} + 3x
\]

### 4. Evaluar la integral en los límites de integración

Evaluamos la integral entre \(-3\) y \(2\):

\[
\left[ -\frac{x^3}{12} + 3x \right]_{-3}^{2}
\]

Primero evaluamos en \(x = 2\):

\[
-\frac{2^3}{12} + 3(2) = -\frac{8}{12} + 6 = -\frac{2}{3} + 6 = \frac{16}{3}
\]

Ahora evaluamos en \(x = -3\):

\[
-\frac{(-3)^3}{12} + 3(-3) = -\frac{-27}{12} - 9 = \frac{27}{12} - 9 = \frac{9}{4} - 9 = \frac{-27}{4}
\]

### 5. Restar los valores para obtener el área

La diferencia entre los valores evaluados es:

\[
\frac{16}{3} - \left( \frac{-27}{4} \right) = \frac{16}{3} + \frac{27}{4}
\]

Para sumar estas fracciones, encontramos un denominador común:

\[
\frac{16}{3} = \frac{64}{12}, \quad \frac{27}{4} = \frac{81}{12}
\]

Sumando:

\[
\frac{64}{12} + \frac{81}{12} = \frac{145}{12}
\]

Por lo tanto, el área exacta bajo la curva en el intervalo \([-3, 2]\) es:

\[
\boxed{\frac{145}{12}}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan las sumas de Riemann utilizando particiones?
2. ¿Qué diferencia hay entre las sumas de Riemann y la integral definida?
3. ¿Cómo afectan los límites de integración negativos en el cálculo del área?
4. ¿Cómo se interpreta el área bajo la curva si la función cruza el eje \(x\)?
5. ¿Cuáles son las propiedades de las integrales de funciones cuadráticas?

**Tip:** Siempre es útil verificar los resultados gráficos de una integral para visualizar el área que estás calculando.

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