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resuelve utilizando el 1er teorema fundamental del calculo paso a paso

Para resolver la integral definida \(\int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 3) \, dx\) utilizando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Encontrar la antiderivada de la función
Primero, necesitamos encontrar la antiderivada (o integral indefinida) de la función \(f(x) = x^2 + 2x - 3\).

\[
\int (x^2 + 2x - 3) \, dx
\]

- La antiderivada de \(x^2\) es \(\frac{x^3}{3}\).
- La antiderivada de \(2x\) es \(x^2\).
- La antiderivada de \(-3\) es \(-3x\).

Por lo tanto, la antiderivada es:

\[
F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración. Como estamos resolviendo una integral definida, el valor de \(C\) se cancelará en el proceso.

### Paso 2: Evaluar la antiderivada en los límites de integración
Ahora evaluamos la antiderivada en los límites superior e inferior (3 y 2, respectivamente):

\[
\int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 3) \, dx = F(3) - F(2)
\]

Calculemos \(F(3)\) y \(F(2)\):

\[
F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 - 3(3) = \frac{27}{3} + 9 - 9 = 9 + 9 - 9 = 9
\]

\[
F(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 - 3(2) = \frac{8}{3} + 4 - 6 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3}
\]

### Paso 3: Restar los valores obtenidos
Finalmente, restamos \(F(2)\) de \(F(3)\):

\[
F(3) - F(2) = 9 - \frac{2}{3} = \frac{27}{3} - \frac{2}{3} = \frac{25}{3}
\]

Por lo tanto, el valor de la integral definida es:

\[
\int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 3) \, dx = \frac{25}{3}
\]

### Respuesta Final:
\[
\boxed{\frac{25}{3}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el Primer Teorema Fundamental del Cálculo a funciones con constantes?
2. ¿Cómo se encuentran antiderivadas de funciones más complejas?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una integral definida?
4. ¿Qué ocurre si cambiamos los límites de integración en una integral?
5. ¿Cómo afecta una función de varias variables al proceso de integración?

**Tip:** Cuando evalúas integrales definidas, recuerda que cualquier constante de integración se cancela. Concéntrate en las diferencias en los valores evaluados de la función antiderivada.

Resuelve utilizando el 1er teorema fundamental del cálculo paso a paso

Aprende a resolver una integral definida ∫(x^2 + 2x - 3) dx evaluada de 2 a 3 utilizando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo. La solución paso a paso incluye la antiderivada de la función, la evaluación en los límites, y el cálculo del resultado final.

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