Cálculo de áreas exactas con Sumas de Riemann. f(x)=-x²/4 + 3. intervalo de -3 a 2.

Para calcular el área exacta bajo la curva de la función \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \) en el intervalo \([-3, 2]\) utilizando sumas de Riemann, el procedimiento típico es aproximar el área con rectángulos y luego tomar el límite de estas sumas. Sin embargo, también podemos usar la integral definida para obtener el área exacta, que es el equivalente a tomar el límite de las sumas de Riemann.

### Paso 1: Escribir la integral definida

Para calcular el área exacta, debemos evaluar la integral de la función \( f(x) \) en el intervalo \([-3, 2]\):

\[
\int_{-3}^{2} \left(-\frac{x^2}{4} + 3\right) \, dx
\]

### Paso 2: Calcular la integral indefinida

Primero, integramos \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \):

\[
\int \left(-\frac{x^2}{4} + 3\right) \, dx = -\frac{1}{4} \int x^2 \, dx + \int 3 \, dx
\]

- La integral de \( x^2 \) es \( \frac{x^3}{3} \), entonces:
  \[
  -\frac{1}{4} \int x^2 \, dx = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{12}
  \]

- La integral de \( 3 \) es \( 3x \).

Por lo tanto, la integral indefinida es:

\[
-\frac{x^3}{12} + 3x + C
\]

### Paso 3: Evaluar la integral definida

Ahora evaluamos la integral en el intervalo \([-3, 2]\):

\[
\int_{-3}^{2} \left(-\frac{x^2}{4} + 3\right) \, dx = \left[-\frac{x^3}{12} + 3x\right]_{-3}^{2}
\]

Evaluamos en los límites superior \( x = 2 \) e inferior \( x = -3 \):

- Para \( x = 2 \):
  \[
  -\frac{2^3}{12} + 3(2) = -\frac{8}{12} + 6 = -\frac{2}{3} + 6 = \frac{16}{3}
  \]

- Para \( x = -3 \):
  \[
  -\frac{(-3)^3}{12} + 3(-3) = -\frac{-27}{12} - 9 = \frac{27}{12} - 9 = \frac{9}{4} - 9 = \frac{9}{4} - \frac{36}{4} = -\frac{27}{4}
  \]

### Paso 4: Calcular el área

Ahora restamos los valores evaluados en los extremos del intervalo:

\[
\text{Área} = \left(\frac{16}{3}\right) - \left(-\frac{27}{4}\right) = \frac{16}{3} + \frac{27}{4}
\]

Para sumar estas fracciones, buscamos un denominador común. El mínimo común denominador de 3 y 4 es 12:

\[
\frac{16}{3} = \frac{64}{12}, \quad \frac{27}{4} = \frac{81}{12}
\]

Ahora sumamos:

\[
\text{Área} = \frac{64}{12} + \frac{81}{12} = \frac{145}{12}
\]

Por lo tanto, el área exacta bajo la curva es:

\[
\boxed{\frac{145}{12}}
\]

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se podría aproximar esta área utilizando sumas de Riemann con diferentes particiones?
2. ¿Cómo cambia el área si el intervalo es \([-2, 2]\) en lugar de \([-3, 2]\)?
3. ¿Cómo afecta una traslación de la función \( f(x) = -\frac{x^2}{4} + 3 \) al cálculo del área?
4. ¿Cómo se interpreta el resultado si parte del área está por debajo del eje \( x \)?
5. ¿Cuál es el área bajo la curva si \( f(x) \) fuera positiva en todo el intervalo?

### Tip:
Para mejorar la comprensión de sumas de Riemann, es útil practicar con diferentes funciones y comparar las aproximaciones con la integral exacta.

Aprende a calcular el área exacta bajo la curva de la función f(x) = -x²/4 + 3 en el intervalo de [-3, 2] utilizando sumas de Riemann y la integral definida. Incluye un desglose paso a paso del cálculo, utilizando el teorema fundamental del cálculo. Nivel adecuado para estudiantes de secundaria superior (Grades 10-12).

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