Problema 1 (Aproximación del área con polígonos):

Se inscribe un octágono regular en un círculo de radio 6 cm. Calcula el área aproximada del círculo
utilizando este polígono y luego define qué tan cercana es la aproximación comparada con el área
real del círculo.

Para abordar este problema, primero calcularemos el área del octágono regular inscrito en el círculo y luego lo compararemos con el área real del círculo. Utilizaremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Área real del círculo
El área de un círculo se calcula con la fórmula:

\[
A_{\text{círculo}} = \pi r^2
\]

donde \(r\) es el radio del círculo. En este caso, el radio es \(r = 6 \, \text{cm}\), por lo que:

\[
A_{\text{círculo}} = \pi (6)^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \approx 113.097 \, \text{cm}^2
\]

### Paso 2: Área del octágono regular inscrito

Para encontrar el área del octágono, usamos la fórmula para el área de un polígono regular de \(n\) lados inscrito en un círculo de radio \(r\):

\[
A_{\text{octágono}} = \frac{1}{2} n r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)
\]

Donde:
- \(n = 8\) (número de lados del octágono),
- \(r = 6 \, \text{cm}\) (radio del círculo).

Sustituyendo los valores:

\[
A_{\text{octágono}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (6)^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right)
\]

Sabemos que \(\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\), y \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Entonces:

\[
A_{\text{octágono}} = 4 \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 144 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 72\sqrt{2} \, \text{cm}^2
\]

Aproximando el valor de \(\sqrt{2} \approx 1.414\):

\[
A_{\text{octágono}} \approx 72 \cdot 1.414 = 101.808 \, \text{cm}^2
\]

### Paso 3: Comparación entre el área del octágono y el área del círculo

El área aproximada del círculo usando el octágono es \(101.808 \, \text{cm}^2\), mientras que el área real del círculo es \(113.097 \, \text{cm}^2\).

La diferencia entre el área real y el área aproximada es:

\[
\text{Diferencia} = 113.097 - 101.808 = 11.289 \, \text{cm}^2
\]

Para medir la precisión de la aproximación, calculamos el porcentaje de error:

\[
\text{Error (\%)} = \frac{113.097 - 101.808}{113.097} \times 100 \approx 9.98\%
\]

### Conclusión:
El área aproximada del círculo utilizando un octágono regular inscrito es de \(101.808 \, \text{cm}^2\), lo que representa una diferencia de aproximadamente un 9.98% en comparación con el área real del círculo.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir el tema:

1. ¿Cómo cambiaría el área del polígono si fuera un hexágono en lugar de un octágono?
2. ¿Cómo afectaría un aumento del número de lados del polígono a la precisión de la aproximación?
3. ¿Por qué un octágono inscrito no es una aproximación perfecta del área del círculo?
4. ¿Qué otras aproximaciones geométricas se pueden usar para calcular el área del círculo?
5. ¿Cómo cambiaría el cálculo si el radio del círculo fuera el doble?

**Tip:** Entre más lados tenga el polígono regular inscrito, más precisa será la aproximación del área del círculo.

Problema 1 (Aproximación del área con polígonos): Se inscribe un octágono regular en un círculo de radio 6 cm. Calcula el área aproximada del círculo utilizando este polígono y luego define qué tan cercana es la aproximación comparada con el área real del círculo.

Aprende a calcular el área aproximada de un círculo con radio 6 cm utilizando un octágono inscrito. Este problema incluye los conceptos geométricos clave, como el área del círculo y el polígono regular, con un enfoque en la comparación entre aproximación y realidad. Apto para estudiantes de 10º a 12º grado.

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