Suponga que en una empresa competitiva el costo marginal de producir q viene dado por CM=3+2q dónde 3 es el costo fijo. Suponga que el precio de mercado del producto de la empresa es $9. ¿Cuántas utilidades obtiene al vender 100 unidades?  


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Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. **Función de costo total (CT):** Dado que el costo marginal (CM) es $ CM = 3 + 2q $, podemos encontrar la función de costo total integrando el costo marginal con respecto a la cantidad producida $ q $.

\[
CT(q) = \int CM \, dq = \int (3 + 2q) \, dq = 3q + q^2 + C
\]

Donde $ C $ es una constante de integración que representa el costo fijo inicial. Sabemos que el costo fijo es 3, por lo que:

\[
CT(q) = 3q + q^2 + 3
\]

2. **Función de ingresos totales (IT):** El precio de mercado del producto es $9, por lo tanto, la función de ingresos totales al vender $ q $ unidades es:

\[
IT(q) = 9q
\]

3. **Función de utilidades (U):** La utilidad es la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales:

\[
U(q) = IT(q) - CT(q)
\]
\[
U(q) = 9q - (3q + q^2 + 3) = 9q - 3q - q^2 - 3 = 6q - q^2 - 3
\]

4. **Cálculo de las utilidades para 100 unidades:** Ahora sustituimos $ q = 100 $ en la función de utilidades:

\[
U(100) = 6(100) - (100)^2 - 3 = 600 - 10000 - 3 = -9403
\]

Como se puede observar, la empresa está teniendo una pérdida de 9403 unidades monetarias al vender 100 unidades, por lo tanto, ninguna de las opciones dadas parece correcta si consideramos el modelo proporcionado.

Sin embargo, si ajustamos el planteamiento, donde el costo marginal se tomara como $ CM = 2q $ y consideramos el costo fijo fuera de la función de costos, puede haber un resultado alternativo. Asegúrese de que todos los datos estén correctamente interpretados.

**Tip**: Revisar las fórmulas y las constantes antes de aplicar para evitar errores.

Si tienes dudas sobre este resultado o la interpretación, o si quieres detalles adicionales, no dudes en preguntar.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta el costo marginal en la toma de decisiones empresariales?
2. ¿Qué impacto tiene el costo fijo en la rentabilidad de una empresa?
3. ¿Cómo varía la utilidad si se modifica el precio de venta?
4. ¿Qué sucede si se aumenta la producción en función del costo marginal dado?
5. ¿Cómo se podría mejorar la utilidad a partir de esta estructura de costos?

Learn how to calculate profits in a competitive market using marginal cost, total cost, and total revenue functions. Detailed step-by-step solution provided for a scenario where marginal cost is given as CM = 3 + 2q and market price is $9. Suitable for advanced high school or college students.

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