01. O número de funções injetoras f: {1, 2, 3, 4} - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} satisfazendo
If (i) - f()| ≥ 2,
para todos os distintos i, j € {1, 2, 3, 4} é igual a:
a) 35
b) 70
c) 420
d) 840
e) 960


Vamos resolver o problema passo a passo.

### Entendendo o Problema:
Temos uma função injetora \( f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \). Uma função injetora é uma função onde elementos distintos do domínio são mapeados para elementos distintos do contradomínio.

Além disso, a função deve satisfazer a condição \(|f(i) - f(j)| \geq 2\) para todos os \(i\) e \(j\) distintos no domínio \(\{1, 2, 3, 4\}\).

### Passo 1: Contando o Número de Funções Injetoras

Sem a condição adicional, o número de funções injetoras seria:
\[
\text{Número de funções injetoras} = P(10, 4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040
\]

### Passo 2: Aplicando a Restrição \(|f(i) - f(j)| \geq 2\)

Essa restrição implica que, para qualquer par \(i\) e \(j\), as imagens \(f(i)\) e \(f(j)\) devem ter uma diferença de pelo menos 2. Assim, uma vez que \(f(1)\) é escolhido, os valores possíveis para \(f(2)\) devem excluir os valores adjacentes a \(f(1)\).

Vamos calcular as possibilidades:

1. **Escolha do primeiro elemento:** \( f(1) \) pode ser qualquer valor entre 1 e 10. Portanto, temos 10 escolhas.

2. **Escolha do segundo elemento:** Depois de escolher \( f(1) \), \( f(2) \) não pode ser o valor \( f(1) \) e também não pode ser os valores \( f(1) - 1 \) ou \( f(1) + 1 \) (se estiverem dentro do intervalo de 1 a 10). Assim, restam 7 escolhas possíveis para \( f(2) \).

3. **Escolha do terceiro elemento:** De forma similar, após escolher \( f(1) \) e \( f(2) \), as opções para \( f(3) \) devem excluir os valores já escolhidos e seus adjacentes. Isso deixa 6 possibilidades para \( f(3) \).

4. **Escolha do quarto elemento:** Finalmente, \( f(4) \) deve ser escolhido dentre os valores restantes, excluindo aqueles já escolhidos e seus adjacentes, deixando 5 escolhas.

Portanto, o número total de funções que satisfazem essa condição é:
\[
10 \times 7 \times 6 \times 5 = 2100
\]

### Passo 3: Ajuste pelo Número de Permutações
Contudo, observe que algumas funções injetoras contam o mesmo subconjunto de valores diferentes, portanto devemos considerar apenas as permutações dos subconjuntos escolhidos:
\[
\frac{2100}{5} = 420
\]

Portanto, o número de funções injetoras que satisfazem as condições dadas é **420**, e a resposta correta é:

**Alternativa (c) 420.**

---

**Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre a solução?**

### Perguntas Relacionadas:
1. O que são funções sobrejetoras e como se diferenciam de funções injetoras?
2. Como a restrição \(|f(i) - f(j)| \geq 2\) afeta a contagem de funções?
3. Como calcular o número de funções bijetoras para conjuntos finitos?
4. O que é uma função bijetora e como ela difere de uma função injetora?
5. Como generalizar o problema para um conjunto de domínio maior ou menor?

**Dica:** Funções injetoras são fundamentais em muitas áreas da matemática, especialmente em combinatória e teoria dos conjuntos. Compreender como restrições adicionais afetam o número de funções possíveis pode ser uma habilidade valiosa.

Learn how to count injective functions f: {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} satisfying |f(i) - f(j)| ≥ 2 for all distinct i, j ∈ {1, 2, 3, 4}. Step-by-step solution provided, with detailed explanations and calculations. Suitable for high school students.

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